Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4301 / 4524
↖ ↑ ↗
← S 18.479609°
E  9.008789°		 ← 4 634.53 m → S 18.479609°
E  9.052734°		 →
↑
4 634.01 m
↓
↑
4 634.01 m
↓
S 18.521284°
E  9.008789°		 ← 4 633.40 m →
21 473 843 m²		 S 18.521284°
E  9.052734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52508544921875 y=0.55230712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52508544921875 × 213)
    floor (0.52508544921875 × 8192)
    floor (4301.5)     		tx = 4301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55230712890625 × 213)
    floor (0.55230712890625 × 8192)
    floor (4524.5)     		ty = 4524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4301 / 4524 ti = "13/4301/4524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4301/4524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4301 ÷ 213
    4301 ÷ 8192     		x = 0.5250244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4524 ÷ 213
    4524 ÷ 8192     		y = 0.55224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5250244140625 × 2 - 1) × π
    0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55224609375 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.328271888598145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15723303} λ = 0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328271888598145))-π/2
    2×atan(0.720167187837151)-π/2
    2×0.624133152149083-π/2
    1.24826630429817-1.57079632675     		φ = -0.32253002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32253002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.479609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4301 KachelY 4524 0.15723303 -0.32253002 9.008789 -18.479609
    Oben rechts KachelX + 1 4302 KachelY 4524 0.15800002 -0.32253002 9.052734 -18.479609
    Unten links KachelX 4301 KachelY + 1 4525 0.15723303 -0.32325738 9.008789 -18.521284
    Unten rechts KachelX + 1 4302 KachelY + 1 4525 0.15800002 -0.32325738 9.052734 -18.521284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32253002--0.32325738) × R
    0.00072736000000001 × 6371000     		dl = 4634.01056000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32253002--0.32325738) × R
    0.00072736000000001 × 6371000     		dr = 4634.01056000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15723303-0.15800002) × cos(-0.32253002) × R
    0.000766989999999995 × 0.948436521214896 × 6371000     		do = 4634.5286969075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15723303-0.15800002) × cos(-0.32325738) × R
    0.000766989999999995 × 0.948205721132895 × 6371000     		du = 4633.40089385547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32253002)-sin(-0.32325738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948436521214896-0.948205721132895)×R²
    abs(0.15800002-0.15723303)×0.000230800082000604×R²
    0.000766989999999995×0.000230800082000604×6371000²
    0.000766989999999995×0.000230800082000604×40589641000000     		ar = 21473842.743198m²