Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4300 / 4545
↖ ↑ ↗
← S 19.352611°
E  8.964844°		 ← 4 610.39 m → S 19.352611°
E  9.008789°		 →
↑
4 609.80 m
↓
↑
4 609.80 m
↓
S 19.394068°
E  8.964844°		 ← 4 609.22 m →
21 250 286 m²		 S 19.394068°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52496337890625 y=0.55487060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52496337890625 × 213)
    floor (0.52496337890625 × 8192)
    floor (4300.5)     		tx = 4300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55487060546875 × 213)
    floor (0.55487060546875 × 8192)
    floor (4545.5)     		ty = 4545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4300 / 4545 ti = "13/4300/4545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4300/4545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4300 ÷ 213
    4300 ÷ 8192     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4545 ÷ 213
    4545 ÷ 8192     		y = 0.5548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.344378686870483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344378686870483))-π/2
    2×atan(0.708660516797469)-π/2
    2×0.616514773919976-π/2
    1.23302954783995-1.57079632675     		φ = -0.33776678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33776678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.352611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4300 KachelY 4545 0.15646604 -0.33776678 8.964844 -19.352611
    Oben rechts KachelX + 1 4301 KachelY 4545 0.15723303 -0.33776678 9.008789 -19.352611
    Unten links KachelX 4300 KachelY + 1 4546 0.15646604 -0.33849034 8.964844 -19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 4301 KachelY + 1 4546 0.15723303 -0.33849034 9.008789 -19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33776678--0.33849034) × R
    0.000723560000000012 × 6371000     		dl = 4609.80076000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33776678--0.33849034) × R
    0.000723560000000012 × 6371000     		dr = 4609.80076000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15723303) × cos(-0.33776678) × R
    0.000766989999999995 × 0.943497064067419 × 6371000     		do = 4610.39207270012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15723303) × cos(-0.33849034) × R
    0.000766989999999995 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 4609.21921213354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33776678)-sin(-0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943497064067419-0.943257043157337)×R²
    abs(0.15723303-0.15646604)×0.000240020910082461×R²
    0.000766989999999995×0.000240020910082461×6371000²
    0.000766989999999995×0.000240020910082461×40589641000000     		ar = 21250286.4809783m²