Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4300 / 2709
↖ ↑ ↗
← N 51.917167°
E  8.964844°		 ← 3 013.99 m → N 51.917167°
E  9.008789°		 →
↑
3 014.88 m
↓
↑
3 014.88 m
↓
N 51.890054°
E  8.964844°		 ← 3 015.81 m →
9 089 574 m²		 N 51.890054°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52496337890625 y=0.33074951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52496337890625 × 213)
    floor (0.52496337890625 × 8192)
    floor (4300.5)     		tx = 4300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33074951171875 × 213)
    floor (0.33074951171875 × 8192)
    floor (2709.5)     		ty = 2709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4300 / 2709 ti = "13/4300/2709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4300/2709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4300 ÷ 213
    4300 ÷ 8192     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2709 ÷ 213
    2709 ÷ 8192     		y = 0.3306884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3306884765625 × 2 - 1) × π
    0.338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06381567636829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06381567636829))-π/2
    2×atan(2.89740548548709)-π/2
    2×1.23846091975773-π/2
    2.47692183951545-1.57079632675     		φ = 0.90612551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90612551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.917167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4300 KachelY 2709 0.15646604 0.90612551 8.964844 51.917167
    Oben rechts KachelX + 1 4301 KachelY 2709 0.15723303 0.90612551 9.008789 51.917167
    Unten links KachelX 4300 KachelY + 1 2710 0.15646604 0.90565229 8.964844 51.890054
    Unten rechts KachelX + 1 4301 KachelY + 1 2710 0.15723303 0.90565229 9.008789 51.890054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90612551-0.90565229) × R
    0.000473219999999941 × 6371000     		dl = 3014.88461999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90612551-0.90565229) × R
    0.000473219999999941 × 6371000     		dr = 3014.88461999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15723303) × cos(0.90612551) × R
    0.000766989999999995 × 0.616800059510535 × 6371000     		do = 3013.98935206981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15723303) × cos(0.90565229) × R
    0.000766989999999995 × 0.617172471298336 × 6371000     		du = 3015.80913977202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90612551)-sin(0.90565229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616800059510535-0.617172471298336)×R²
    abs(0.15723303-0.15646604)×0.000372411787801008×R²
    0.000766989999999995×0.000372411787801008×6371000²
    0.000766989999999995×0.000372411787801008×40589641000000     		ar = 9089573.53700134m²