Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4297 / 4535
↖ ↑ ↗
← S 18.937465°
E  8.833008°		 ← 4 622 m → S 18.937465°
E  8.876953°		 →
↑
4 621.40 m
↓
↑
4 621.40 m
↓
S 18.979026°
E  8.833008°		 ← 4 620.85 m →
21 357 450 m²		 S 18.979026°
E  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52459716796875 y=0.55364990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52459716796875 × 213)
    floor (0.52459716796875 × 8192)
    floor (4297.5)     		tx = 4297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55364990234375 × 213)
    floor (0.55364990234375 × 8192)
    floor (4535.5)     		ty = 4535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4297 / 4535 ti = "13/4297/4535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4297/4535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4297 ÷ 213
    4297 ÷ 8192     		x = 0.5245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4535 ÷ 213
    4535 ÷ 8192     		y = 0.5535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.107177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.336708782931274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15416507} λ = 0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336708782931274))-π/2
    2×atan(0.714116772617722)-π/2
    2×0.620137610263719-π/2
    1.24027522052744-1.57079632675     		φ = -0.33052111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33052111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.937465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4297 KachelY 4535 0.15416507 -0.33052111 8.833008 -18.937465
    Oben rechts KachelX + 1 4298 KachelY 4535 0.15493206 -0.33052111 8.876953 -18.937465
    Unten links KachelX 4297 KachelY + 1 4536 0.15416507 -0.33124649 8.833008 -18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 4298 KachelY + 1 4536 0.15493206 -0.33124649 8.876953 -18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33052111--0.33124649) × R
    0.000725379999999998 × 6371000     		dl = 4621.39597999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33052111--0.33124649) × R
    0.000725379999999998 × 6371000     		dr = 4621.39597999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15416507-0.15493206) × cos(-0.33052111) × R
    0.000766990000000023 × 0.945873353021942 × 6371000     		do = 4622.00379273166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15416507-0.15493206) × cos(-0.33124649) × R
    0.000766990000000023 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 4620.85223813637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33052111)-sin(-0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945873353021942-0.945637692287967)×R²
    abs(0.15493206-0.15416507)×0.000235660733975185×R²
    0.000766990000000023×0.000235660733975185×6371000²
    0.000766990000000023×0.000235660733975185×40589641000000     		ar = 21357449.7888672m²