Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4297 / 2663
↖ ↑ ↗
← N 76.315556°
W 85.583496°		 ← 578 m → N 76.315556°
W 85.561524°		 →
↑
578.10 m
↓
↑
578.10 m
↓
N 76.310357°
W 85.583496°		 ← 578.22 m →
334 208 m²		 N 76.310357°
W 85.561524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262298583984375 y=0.162567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262298583984375 × 214)
    floor (0.262298583984375 × 16384)
    floor (4297.5)     		tx = 4297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162567138671875 × 214)
    floor (0.162567138671875 × 16384)
    floor (2663.5)     		ty = 2663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4297 / 2663 ti = "14/4297/2663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4297/2663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4297 ÷ 214
    4297 ÷ 16384     		x = 0.26226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2663 ÷ 214
    2663 ÷ 16384     		y = 0.16253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.4754638671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49371379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16253662109375 × 2 - 1) × π
    0.6749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12034494399432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49371379} λ = -1.49371379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12034494399432))-π/2
    2×atan(8.33401175923281)-π/2
    2×1.45137703065528-π/2
    2.90275406131056-1.57079632675     		φ = 1.33195773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49371379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.583496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33195773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.315556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4297 KachelY 2663 -1.49371379 1.33195773 -85.583496 76.315556
    Oben rechts KachelX + 1 4298 KachelY 2663 -1.49333030 1.33195773 -85.561524 76.315556
    Unten links KachelX 4297 KachelY + 1 2664 -1.49371379 1.33186699 -85.583496 76.310357
    Unten rechts KachelX + 1 4298 KachelY + 1 2664 -1.49333030 1.33186699 -85.561524 76.310357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33195773-1.33186699) × R
    9.07400000000891e-05 × 6371000     		dl = 578.104540000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33195773-1.33186699) × R
    9.07400000000891e-05 × 6371000     		dr = 578.104540000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49371379--1.49333030) × cos(1.33195773) × R
    0.000383489999999931 × 0.236574351330058 × 6371000     		do = 578.001954104149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49371379--1.49333030) × cos(1.33186699) × R
    0.000383489999999931 × 0.236662514554843 × 6371000     		du = 578.217355798879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33195773)-sin(1.33186699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236574351330058-0.236662514554843)×R²
    abs(-1.49333030--1.49371379)×8.81632247852482e-05×R²
    0.000383489999999931×8.81632247852482e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.81632247852482e-05×40589641000000     		ar = 334207.816373307m²