Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 42964 / 47060
↖ ↑ ↗
← N 45.174292°
W 61.995850°		 ← 215.31 m → N 45.174292°
W 61.993103°		 →
↑
215.28 m
↓
↑
215.28 m
↓
N 45.172356°
W 61.995850°		 ← 215.32 m →
46 352 m²		 N 45.172356°
W 61.993103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.327793121337891 y=0.359043121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.327793121337891 × 217)
    floor (0.327793121337891 × 131072)
    floor (42964.5)     		tx = 42964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359043121337891 × 217)
    floor (0.359043121337891 × 131072)
    floor (47060.5)     		ty = 47060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 42964 / 47060 ti = "17/42964/47060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/42964/47060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42964 ÷ 217
    42964 ÷ 131072     		x = 0.327789306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47060 ÷ 217
    47060 ÷ 131072     		y = 0.359039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.327789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.34442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.08203170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359039306640625 × 2 - 1) × π
    0.28192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.885682157380157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.08203170} λ = -1.08203170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.885682157380157))-π/2
    2×atan(2.42463781205261)-π/2
    2×1.17961823429062-π/2
    2.35923646858125-1.57079632675     		φ = 0.78844014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.08203170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -61.995850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78844014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.174292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42964 KachelY 47060 -1.08203170 0.78844014 -61.995850 45.174292
    Oben rechts KachelX + 1 42965 KachelY 47060 -1.08198376 0.78844014 -61.993103 45.174292
    Unten links KachelX 42964 KachelY + 1 47061 -1.08203170 0.78840635 -61.995850 45.172356
    Unten rechts KachelX + 1 42965 KachelY + 1 47061 -1.08198376 0.78840635 -61.993103 45.172356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78844014-0.78840635) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dl = 215.276089999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78844014-0.78840635) × R
    3.37899999999225e-05 × 6371000     		dr = 215.276089999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.08203170--1.08198376) × cos(0.78844014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704952510573311 × 6371000     		do = 215.31064220657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.08203170--1.08198376) × cos(0.78840635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.704976475880704 × 6371000     		du = 215.317961828315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78844014)-sin(0.78840635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704952510573311-0.704976475880704)×R²
    abs(-1.08198376--1.08203170)×2.39653073931256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39653073931256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39653073931256e-05×40589641000000     		ar = 46352.0210636576m²