Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4296 / 2664
↖ ↑ ↗
← N 76.310357°
W 85.605469°		 ← 578.23 m → N 76.310357°
W 85.583496°		 →
↑
578.30 m
↓
↑
578.30 m
↓
N 76.305157°
W 85.605469°		 ← 578.45 m →
334 452 m²		 N 76.305157°
W 85.583496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262237548828125 y=0.162628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262237548828125 × 214)
    floor (0.262237548828125 × 16384)
    floor (4296.5)     		tx = 4296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162628173828125 × 214)
    floor (0.162628173828125 × 16384)
    floor (2664.5)     		ty = 2664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4296 / 2664 ti = "14/4296/2664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4296/2664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4296 ÷ 214
    4296 ÷ 16384     		x = 0.26220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2664 ÷ 214
    2664 ÷ 16384     		y = 0.16259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49409729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    0.6748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11996144879736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49409729} λ = -1.49409729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11996144879736))-π/2
    2×atan(8.33081631850898)-π/2
    2×1.45133165964015-π/2
    2.9026633192803-1.57079632675     		φ = 1.33186699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49409729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33186699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.310357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4296 KachelY 2664 -1.49409729 1.33186699 -85.605469 76.310357
    Oben rechts KachelX + 1 4297 KachelY 2664 -1.49371379 1.33186699 -85.583496 76.310357
    Unten links KachelX 4296 KachelY + 1 2665 -1.49409729 1.33177622 -85.605469 76.305157
    Unten rechts KachelX + 1 4297 KachelY + 1 2665 -1.49371379 1.33177622 -85.583496 76.305157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33186699-1.33177622) × R
    9.07699999999068e-05 × 6371000     		dl = 578.295669999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33186699-1.33177622) × R
    9.07699999999068e-05 × 6371000     		dr = 578.295669999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49409729--1.49371379) × cos(1.33186699) × R
    0.000383500000000092 × 0.236662514554843 × 6371000     		do = 578.232433567924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49409729--1.49371379) × cos(1.33177622) × R
    0.000383500000000092 × 0.236750704978122 × 6371000     		du = 578.447907333027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33186699)-sin(1.33177622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236662514554843-0.236750704978122)×R²
    abs(-1.49371379--1.49409729)×8.81904232787056e-05×R²
    0.000383500000000092×8.81904232787056e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.81904232787056e-05×40589641000000     		ar = 334451.616589154m²