Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4295 / 2717
↖ ↑ ↗
← N 51.699800°
E  8.745117°		 ← 3 028.56 m → N 51.699800°
E  8.789063°		 →
↑
3 029.47 m
↓
↑
3 029.47 m
↓
N 51.672555°
E  8.745117°		 ← 3 030.38 m →
9 177 705 m²		 N 51.672555°
E  8.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52435302734375 y=0.33172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52435302734375 × 213)
    floor (0.52435302734375 × 8192)
    floor (4295.5)     		tx = 4295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33172607421875 × 213)
    floor (0.33172607421875 × 8192)
    floor (2717.5)     		ty = 2717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4295 / 2717 ti = "13/4295/2717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4295/2717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4295 ÷ 213
    4295 ÷ 8192     		x = 0.5242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2717 ÷ 213
    2717 ÷ 8192     		y = 0.3316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5242919921875 × 2 - 1) × π
    0.048583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15263109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3316650390625 × 2 - 1) × π
    0.336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05767975321692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15263109} λ = 0.15263109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05767975321692))-π/2
    2×atan(2.87968165971405)-π/2
    2×1.23656402838811-π/2
    2.47312805677623-1.57079632675     		φ = 0.90233173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15263109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90233173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.699800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4295 KachelY 2717 0.15263109 0.90233173 8.745117 51.699800
    Oben rechts KachelX + 1 4296 KachelY 2717 0.15339808 0.90233173 8.789063 51.699800
    Unten links KachelX 4295 KachelY + 1 2718 0.15263109 0.90185622 8.745117 51.672555
    Unten rechts KachelX + 1 4296 KachelY + 1 2718 0.15339808 0.90185622 8.789063 51.672555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90233173-0.90185622) × R
    0.000475510000000012 × 6371000     		dl = 3029.47421000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90233173-0.90185622) × R
    0.000475510000000012 × 6371000     		dr = 3029.47421000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15263109-0.15339808) × cos(0.90233173) × R
    0.000766989999999995 × 0.619781773235797 × 6371000     		do = 3028.559476181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15263109-0.15339808) × cos(0.90185622) × R
    0.000766989999999995 × 0.620154871134822 × 6371000     		du = 3030.3826165611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90233173)-sin(0.90185622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619781773235797-0.620154871134822)×R²
    abs(0.15339808-0.15263109)×0.000373097899025621×R²
    0.000766989999999995×0.000373097899025621×6371000²
    0.000766989999999995×0.000373097899025621×40589641000000     		ar = 9177704.57785205m²