Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4294 / 3020
↖ ↑ ↗
← N 42.682435°
E  8.701172°		 ← 3 592.17 m → N 42.682435°
E  8.745117°		 →
↑
3 593.12 m
↓
↑
3 593.12 m
↓
N 42.650122°
E  8.701172°		 ← 3 594.04 m →
12 910 445 m²		 N 42.650122°
E  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52423095703125 y=0.36871337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52423095703125 × 213)
    floor (0.52423095703125 × 8192)
    floor (4294.5)     		tx = 4294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36871337890625 × 213)
    floor (0.36871337890625 × 8192)
    floor (3020.5)     		ty = 3020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4294 / 3020 ti = "13/4294/3020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4294/3020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4294 ÷ 213
    4294 ÷ 8192     		x = 0.524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3020 ÷ 213
    3020 ÷ 8192     		y = 0.36865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36865234375 × 2 - 1) × π
    0.2626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.825281663858887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15186410} λ = 0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825281663858887))-π/2
    2×atan(2.28252357919565)-π/2
    2×1.15787267862459-π/2
    2.31574535724917-1.57079632675     		φ = 0.74494903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74494903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.682435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4294 KachelY 3020 0.15186410 0.74494903 8.701172 42.682435
    Oben rechts KachelX + 1 4295 KachelY 3020 0.15263109 0.74494903 8.745117 42.682435
    Unten links KachelX 4294 KachelY + 1 3021 0.15186410 0.74438505 8.701172 42.650122
    Unten rechts KachelX + 1 4295 KachelY + 1 3021 0.15263109 0.74438505 8.745117 42.650122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74494903-0.74438505) × R
    0.000563980000000019 × 6371000     		dl = 3593.11658000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74494903-0.74438505) × R
    0.000563980000000019 × 6371000     		dr = 3593.11658000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15186410-0.15263109) × cos(0.74494903) × R
    0.000766989999999995 × 0.735122457649648 × 6371000     		do = 3592.17095663329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15186410-0.15263109) × cos(0.74438505) × R
    0.000766989999999995 × 0.7355046821282 × 6371000     		du = 3594.03869398301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74494903)-sin(0.74438505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735122457649648-0.7355046821282)×R²
    abs(0.15263109-0.15186410)×0.000382224478552406×R²
    0.000766989999999995×0.000382224478552406×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382224478552406×40589641000000     		ar = 12910444.8636986m²