Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4294 / 2790
↖ ↑ ↗
← N 49.667628°
E  8.701172°		 ← 3 162.64 m → N 49.667628°
E  8.745117°		 →
↑
3 163.58 m
↓
↑
3 163.58 m
↓
N 49.639177°
E  8.701172°		 ← 3 164.49 m →
10 008 199 m²		 N 49.639177°
E  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52423095703125 y=0.34063720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52423095703125 × 213)
    floor (0.52423095703125 × 8192)
    floor (4294.5)     		tx = 4294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34063720703125 × 213)
    floor (0.34063720703125 × 8192)
    floor (2790.5)     		ty = 2790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4294 / 2790 ti = "13/4294/2790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4294/2790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4294 ÷ 213
    4294 ÷ 8192     		x = 0.524169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2790 ÷ 213
    2790 ÷ 8192     		y = 0.340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524169921875 × 2 - 1) × π
    0.04833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15186410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340576171875 × 2 - 1) × π
    0.31884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00168945446069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15186410} λ = 0.15186410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00168945446069))-π/2
    2×atan(2.72287812334175)-π/2
    2×1.21882998196813-π/2
    2.43765996393626-1.57079632675     		φ = 0.86686364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15186410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86686364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.667628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4294 KachelY 2790 0.15186410 0.86686364 8.701172 49.667628
    Oben rechts KachelX + 1 4295 KachelY 2790 0.15263109 0.86686364 8.745117 49.667628
    Unten links KachelX 4294 KachelY + 1 2791 0.15186410 0.86636708 8.701172 49.639177
    Unten rechts KachelX + 1 4295 KachelY + 1 2791 0.15263109 0.86636708 8.745117 49.639177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86686364-0.86636708) × R
    0.00049656000000009 × 6371000     		dl = 3163.58376000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86686364-0.86636708) × R
    0.00049656000000009 × 6371000     		dr = 3163.58376000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15186410-0.15263109) × cos(0.86686364) × R
    0.000766989999999995 × 0.647220582517329 × 6371000     		do = 3162.6390336208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15186410-0.15263109) × cos(0.86636708) × R
    0.000766989999999995 × 0.647599031773501 × 6371000     		du = 3164.48832337169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86686364)-sin(0.86636708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647220582517329-0.647599031773501)×R²
    abs(0.15263109-0.15186410)×0.000378449256172586×R²
    0.000766989999999995×0.000378449256172586×6371000²
    0.000766989999999995×0.000378449256172586×40589641000000     		ar = 10008198.8826629m²