Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4293 / 4540
↖ ↑ ↗
← S 19.145168°
E  8.657227°		 ← 4 616.22 m → S 19.145168°
E  8.701172°		 →
↑
4 615.66 m
↓
↑
4 615.66 m
↓
S 19.186678°
E  8.657227°		 ← 4 615.06 m →
21 304 251 m²		 S 19.186678°
E  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52410888671875 y=0.55426025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52410888671875 × 213)
    floor (0.52410888671875 × 8192)
    floor (4293.5)     		tx = 4293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55426025390625 × 213)
    floor (0.55426025390625 × 8192)
    floor (4540.5)     		ty = 4540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4293 / 4540 ti = "13/4293/4540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4293/4540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4293 ÷ 213
    4293 ÷ 8192     		x = 0.5240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4540 ÷ 213
    4540 ÷ 8192     		y = 0.55419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5240478515625 × 2 - 1) × π
    0.048095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15109711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.340543734900879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15109711} λ = 0.15109711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340543734900879))-π/2
    2×atan(0.711383413594255)-π/2
    2×0.618325052966103-π/2
    1.23665010593221-1.57079632675     		φ = -0.33414622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15109711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.657227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33414622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.145168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4293 KachelY 4540 0.15109711 -0.33414622 8.657227 -19.145168
    Oben rechts KachelX + 1 4294 KachelY 4540 0.15186410 -0.33414622 8.701172 -19.145168
    Unten links KachelX 4293 KachelY + 1 4541 0.15109711 -0.33487070 8.657227 -19.186678
    Unten rechts KachelX + 1 4294 KachelY + 1 4541 0.15186410 -0.33487070 8.701172 -19.186678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33414622--0.33487070) × R
    0.000724480000000027 × 6371000     		dl = 4615.66208000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33414622--0.33487070) × R
    0.000724480000000027 × 6371000     		dr = 4615.66208000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15109711-0.15186410) × cos(-0.33414622) × R
    0.000766989999999995 × 0.944690661931055 × 6371000     		do = 4616.22458065173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15109711-0.15186410) × cos(-0.33487070) × R
    0.000766989999999995 × 0.944452811591632 × 6371000     		du = 4615.06232656412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33414622)-sin(-0.33487070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944690661931055-0.944452811591632)×R²
    abs(0.15186410-0.15109711)×0.000237850339423251×R²
    0.000766989999999995×0.000237850339423251×6371000²
    0.000766989999999995×0.000237850339423251×40589641000000     		ar = 21304251.3954503m²