Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4292 / 4541
↖ ↑ ↗
← S 19.186678°
E  8.613281°		 ← 4 615.06 m → S 19.186678°
E  8.657227°		 →
↑
4 614.45 m
↓
↑
4 614.45 m
↓
S 19.228177°
E  8.613281°		 ← 4 613.90 m →
21 293 296 m²		 S 19.228177°
E  8.657227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52398681640625 y=0.55438232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52398681640625 × 213)
    floor (0.52398681640625 × 8192)
    floor (4292.5)     		tx = 4292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55438232421875 × 213)
    floor (0.55438232421875 × 8192)
    floor (4541.5)     		ty = 4541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4292 / 4541 ti = "13/4292/4541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4292/4541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4292 ÷ 213
    4292 ÷ 8192     		x = 0.52392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4541 ÷ 213
    4541 ÷ 8192     		y = 0.5543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3413107252948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15033012} λ = 0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3413107252948))-π/2
    2×atan(0.710837998540425)-π/2
    2×0.61796281422789-π/2
    1.23592562845578-1.57079632675     		φ = -0.33487070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33487070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.186678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4292 KachelY 4541 0.15033012 -0.33487070 8.613281 -19.186678
    Oben rechts KachelX + 1 4293 KachelY 4541 0.15109711 -0.33487070 8.657227 -19.186678
    Unten links KachelX 4292 KachelY + 1 4542 0.15033012 -0.33559499 8.613281 -19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 4293 KachelY + 1 4542 0.15109711 -0.33559499 8.657227 -19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33487070--0.33559499) × R
    0.000724289999999961 × 6371000     		dl = 4614.45158999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33487070--0.33559499) × R
    0.000724289999999961 × 6371000     		dr = 4614.45158999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15033012-0.15109711) × cos(-0.33487070) × R
    0.000766989999999995 × 0.944452811591632 × 6371000     		do = 4615.06232656412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15033012-0.15109711) × cos(-0.33559499) × R
    0.000766989999999995 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 4613.89795592509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33487070)-sin(-0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944452811591632-0.944214528108996)×R²
    abs(0.15109711-0.15033012)×0.000238283482636437×R²
    0.000766989999999995×0.000238283482636437×6371000²
    0.000766989999999995×0.000238283482636437×40589641000000     		ar = 21293296.1556535m²