Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4291 / 3021
↖ ↑ ↗
← N 42.650122°
E  8.569336°		 ← 3 594.04 m → N 42.650122°
E  8.613281°		 →
↑
3 594.96 m
↓
↑
3 594.96 m
↓
N 42.617791°
E  8.569336°		 ← 3 595.91 m →
12 923 798 m²		 N 42.617791°
E  8.613281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52386474609375 y=0.36883544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52386474609375 × 213)
    floor (0.52386474609375 × 8192)
    floor (4291.5)     		tx = 4291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36883544921875 × 213)
    floor (0.36883544921875 × 8192)
    floor (3021.5)     		ty = 3021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4291 / 3021 ti = "13/4291/3021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4291/3021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4291 ÷ 213
    4291 ÷ 8192     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3021 ÷ 213
    3021 ÷ 8192     		y = 0.3687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3687744140625 × 2 - 1) × π
    0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824514673464966))-π/2
    2×atan(2.28077357673984)-π/2
    2×1.15759068940147-π/2
    2.31518137880294-1.57079632675     		φ = 0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4291 KachelY 3021 0.14956313 0.74438505 8.569336 42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 4292 KachelY 3021 0.15033012 0.74438505 8.613281 42.650122
    Unten links KachelX 4291 KachelY + 1 3022 0.14956313 0.74382078 8.569336 42.617791
    Unten rechts KachelX + 1 4292 KachelY + 1 3022 0.15033012 0.74382078 8.613281 42.617791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74438505-0.74382078) × R
    0.000564270000000033 × 6371000     		dl = 3594.96417000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74438505-0.74382078) × R
    0.000564270000000033 × 6371000     		dr = 3594.96417000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.15033012) × cos(0.74438505) × R
    0.000766990000000023 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 3594.03869398314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.15033012) × cos(0.74382078) × R
    0.000766990000000023 × 0.735886869022593 × 6371000     		du = 3595.90624767812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74438505)-sin(0.74382078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735886869022593)×R²
    abs(0.15033012-0.14956313)×0.000382186894392622×R²
    0.000766990000000023×0.000382186894392622×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382186894392622×40589641000000     		ar = 12923797.5676844m²