Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4290 / 4546
↖ ↑ ↗
← S 19.394068°
E  8.525391°		 ← 4 609.22 m → S 19.394068°
E  8.569336°		 →
↑
4 608.65 m
↓
↑
4 608.65 m
↓
S 19.435515°
E  8.525391°		 ← 4 608.04 m →
21 239 590 m²		 S 19.435515°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52374267578125 y=0.55499267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52374267578125 × 213)
    floor (0.52374267578125 × 8192)
    floor (4290.5)     		tx = 4290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55499267578125 × 213)
    floor (0.55499267578125 × 8192)
    floor (4546.5)     		ty = 4546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4290 / 4546 ti = "13/4290/4546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4290/4546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4290 ÷ 213
    4290 ÷ 8192     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4546 ÷ 213
    4546 ÷ 8192     		y = 0.554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.345145677264404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345145677264404))-π/2
    2×atan(0.708117189378625)-π/2
    2×0.616152993337102-π/2
    1.2323059866742-1.57079632675     		φ = -0.33849034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33849034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.394068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4290 KachelY 4546 0.14879614 -0.33849034 8.525391 -19.394068
    Oben rechts KachelX + 1 4291 KachelY 4546 0.14956313 -0.33849034 8.569336 -19.394068
    Unten links KachelX 4290 KachelY + 1 4547 0.14879614 -0.33921372 8.525391 -19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 4291 KachelY + 1 4547 0.14956313 -0.33921372 8.569336 -19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33849034--0.33921372) × R
    0.000723379999999996 × 6371000     		dl = 4608.65397999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33849034--0.33921372) × R
    0.000723379999999996 × 6371000     		dr = 4608.65397999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14956313) × cos(-0.33849034) × R
    0.000766989999999995 × 0.943257043157337 × 6371000     		do = 4609.21921213354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14956313) × cos(-0.33921372) × R
    0.000766989999999995 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 4608.04423113353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33849034)-sin(-0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943257043157337-0.943016588309602)×R²
    abs(0.14956313-0.14879614)×0.000240454847734606×R²
    0.000766989999999995×0.000240454847734606×6371000²
    0.000766989999999995×0.000240454847734606×40589641000000     		ar = 21239589.852446m²