Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4290 / 2707
↖ ↑ ↗
← N 51.971346°
E  8.525391°		 ← 3 010.35 m → N 51.971346°
E  8.569336°		 →
↑
3 011.25 m
↓
↑
3 011.25 m
↓
N 51.944265°
E  8.525391°		 ← 3 012.17 m →
9 067 668 m²		 N 51.944265°
E  8.569336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52374267578125 y=0.33050537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52374267578125 × 213)
    floor (0.52374267578125 × 8192)
    floor (4290.5)     		tx = 4290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33050537109375 × 213)
    floor (0.33050537109375 × 8192)
    floor (2707.5)     		ty = 2707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4290 / 2707 ti = "13/4290/2707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4290/2707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4290 ÷ 213
    4290 ÷ 8192     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2707 ÷ 213
    2707 ÷ 8192     		y = 0.3304443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3304443359375 × 2 - 1) × π
    0.339111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06534965715613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06534965715613))-π/2
    2×atan(2.90185346051833)-π/2
    2×1.23893371391658-π/2
    2.47786742783316-1.57079632675     		φ = 0.90707110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90707110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.971346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4290 KachelY 2707 0.14879614 0.90707110 8.525391 51.971346
    Oben rechts KachelX + 1 4291 KachelY 2707 0.14956313 0.90707110 8.569336 51.971346
    Unten links KachelX 4290 KachelY + 1 2708 0.14879614 0.90659845 8.525391 51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 4291 KachelY + 1 2708 0.14956313 0.90659845 8.569336 51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90707110-0.90659845) × R
    0.000472650000000074 × 6371000     		dl = 3011.25315000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90707110-0.90659845) × R
    0.000472650000000074 × 6371000     		dr = 3011.25315000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14956313) × cos(0.90707110) × R
    0.000766989999999995 × 0.616055491192557 × 6371000     		do = 3010.35102398007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14956313) × cos(0.90659845) × R
    0.000766989999999995 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 3012.16996677416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90707110)-sin(0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616055491192557-0.616427730073519)×R²
    abs(0.14956313-0.14879614)×0.000372238880961828×R²
    0.000766989999999995×0.000372238880961828×6371000²
    0.000766989999999995×0.000372238880961828×40589641000000     		ar = 9067667.82098685m²