Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 429 / 95
↖ ↑ ↗
← N 81.147481°
W 29.179687°		 ← 6 015.92 m → N 81.147481°
W 28.828125°		 →
↑
6 034.23 m
↓
↑
6 034.23 m
↓
N 81.093214°
W 29.179687°		 ← 6 052.50 m →
36 411 829 m²		 N 81.093214°
W 28.828125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41943359375 y=0.09326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41943359375 × 210)
    floor (0.41943359375 × 1024)
    floor (429.5)     		tx = 429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09326171875 × 210)
    floor (0.09326171875 × 1024)
    floor (95.5)     		ty = 95
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 429 / 95 ti = "10/429/95"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/429/95.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 429 ÷ 210
    429 ÷ 1024     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95 ÷ 210
    95 ÷ 1024     		y = 0.0927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0927734375 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55867995412012))-π/2
    2×atan(12.9187527087027)-π/2
    2×1.4935435223922-π/2
    2.9870870447844-1.57079632675     		φ = 1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 429 KachelY 95 -0.50928162 1.41629072 -29.179687 81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 430 KachelY 95 -0.50314570 1.41629072 -28.828125 81.147481
    Unten links KachelX 429 KachelY + 1 96 -0.50928162 1.41534358 -29.179687 81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 430 KachelY + 1 96 -0.50314570 1.41534358 -28.828125 81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41629072-1.41534358) × R
    0.000947139999999846 × 6371000     		dl = 6034.22893999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41629072-1.41534358) × R
    0.000947139999999846 × 6371000     		dr = 6034.22893999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50314570) × cos(1.41629072) × R
    0.00613591999999996 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 6015.92272361375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50314570) × cos(1.41534358) × R
    0.00613591999999996 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 6052.50450768234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41629072)-sin(1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.154827402507351)×R²
    abs(-0.50314570--0.50928162)×0.000935788250836539×R²
    0.00613591999999996×0.000935788250836539×6371000²
    0.00613591999999996×0.000935788250836539×40589641000000     		ar = 36411829.1516918m²