Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4289 / 12992
↖ ↑ ↗
← N 34.885931°
W132.879638°		 ← 1 002.05 m → N 34.885931°
W132.868653°		 →
↑
1 002.16 m
↓
↑
1 002.16 m
↓
N 34.876918°
W132.879638°		 ← 1 002.16 m →
1 004 267 m²		 N 34.876918°
W132.868653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130905151367188 y=0.396499633789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130905151367188 × 215)
    floor (0.130905151367188 × 32768)
    floor (4289.5)     		tx = 4289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.396499633789062 × 215)
    floor (0.396499633789062 × 32768)
    floor (12992.5)     		ty = 12992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4289 / 12992 ti = "15/4289/12992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4289/12992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4289 ÷ 215
    4289 ÷ 32768     		x = 0.130889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12992 ÷ 215
    12992 ÷ 32768     		y = 0.396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.73822021484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31918720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.396484375 × 2 - 1) × π
    0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31918720} λ = -2.31918720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.650407854044922))-π/2
    2×atan(1.91632224943113)-π/2
    2×1.08983534215958-π/2
    2.17967068431915-1.57079632675     		φ = 0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31918720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.879638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4289 KachelY 12992 -2.31918720 0.60887436 -132.879638 34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 4290 KachelY 12992 -2.31899546 0.60887436 -132.868653 34.885931
    Unten links KachelX 4289 KachelY + 1 12993 -2.31918720 0.60871706 -132.879638 34.876918
    Unten rechts KachelX + 1 4290 KachelY + 1 12993 -2.31899546 0.60871706 -132.868653 34.876918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60887436-0.60871706) × R
    0.000157299999999916 × 6371000     		dl = 1002.15829999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60887436-0.60871706) × R
    0.000157299999999916 × 6371000     		dr = 1002.15829999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31918720--2.31899546) × cos(0.60887436) × R
    0.000191739999999996 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 1002.04905937011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31918720--2.31899546) × cos(0.60871706) × R
    0.000191739999999996 × 0.820382297679521 × 6371000     		du = 1002.15894829428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60887436)-sin(0.60871706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820382297679521)×R²
    abs(-2.31899546--2.31918720)×8.9956716200823e-05×R²
    0.000191739999999996×8.9956716200823e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.9956716200823e-05×40589641000000     		ar = 1004266.84697377m²