Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4288 / 4030
↖ ↑ ↗
← N  2.899153°
E  8.437500°		 ← 4 880.24 m → N  2.899153°
E  8.481446°		 →
↑
4 880.31 m
↓
↑
4 880.31 m
↓
N  2.855263°
E  8.437500°		 ← 4 880.43 m →
23 817 556 m²		 N  2.855263°
E  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52349853515625 y=0.49200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52349853515625 × 213)
    floor (0.52349853515625 × 8192)
    floor (4288.5)     		tx = 4288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.49200439453125 × 213)
    floor (0.49200439453125 × 8192)
    floor (4030.5)     		ty = 4030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4288 / 4030 ti = "13/4288/4030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4288/4030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4288 ÷ 213
    4288 ÷ 8192     		x = 0.5234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4030 ÷ 213
    4030 ÷ 8192     		y = 0.491943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5234375 × 2 - 1) × π
    0.046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491943359375 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0506213659987793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14726216} λ = 0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0506213659987793))-π/2
    2×atan(1.05192452347848)-π/2
    2×0.810698043450215-π/2
    1.62139608690043-1.57079632675     		φ = 0.05059976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05059976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.899153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4288 KachelY 4030 0.14726216 0.05059976 8.437500 2.899153
    Oben rechts KachelX + 1 4289 KachelY 4030 0.14802915 0.05059976 8.481446 2.899153
    Unten links KachelX 4288 KachelY + 1 4031 0.14726216 0.04983374 8.437500 2.855263
    Unten rechts KachelX + 1 4289 KachelY + 1 4031 0.14802915 0.04983374 8.481446 2.855263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05059976-0.04983374) × R
    0.000766019999999999 × 6371000     		dl = 4880.31341999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05059976-0.04983374) × R
    0.000766019999999999 × 6371000     		dr = 4880.31341999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14726216-0.14802915) × cos(0.05059976) × R
    0.000766989999999995 × 0.998720105258951 × 6371000     		do = 4880.23909293593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14726216-0.14802915) × cos(0.04983374) × R
    0.000766989999999995 × 0.99875855612769 × 6371000     		du = 4880.42698284802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05059976)-sin(0.04983374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998720105258951-0.99875855612769)×R²
    abs(0.14802915-0.14726216)×3.84508687386598e-05×R²
    0.000766989999999995×3.84508687386598e-05×6371000²
    0.000766989999999995×3.84508687386598e-05×40589641000000     		ar = 23817555.9835456m²