Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4286 / 4277
↖ ↑ ↗
← S  7.928675°
E  8.349609°		 ← 4 839.84 m → S  7.928675°
E  8.393555°		 →
↑
4 839.54 m
↓
↑
4 839.54 m
↓
S  7.972198°
E  8.349609°		 ← 4 839.33 m →
23 421 374 m²		 S  7.972198°
E  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52325439453125 y=0.52215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52325439453125 × 213)
    floor (0.52325439453125 × 8192)
    floor (4286.5)     		tx = 4286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52215576171875 × 213)
    floor (0.52215576171875 × 8192)
    floor (4277.5)     		ty = 4277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4286 / 4277 ti = "13/4286/4277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4286/4277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4286 ÷ 213
    4286 ÷ 8192     		x = 0.523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4277 ÷ 213
    4277 ÷ 8192     		y = 0.5220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523193359375 × 2 - 1) × π
    0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.138825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14572817} λ = 0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.138825261299683))-π/2
    2×atan(0.870380104259301)-π/2
    2×0.716207423097558-π/2
    1.43241484619512-1.57079632675     		φ = -0.13838148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13838148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.928675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4286 KachelY 4277 0.14572817 -0.13838148 8.349609 -7.928675
    Oben rechts KachelX + 1 4287 KachelY 4277 0.14649517 -0.13838148 8.393555 -7.928675
    Unten links KachelX 4286 KachelY + 1 4278 0.14572817 -0.13914110 8.349609 -7.972198
    Unten rechts KachelX + 1 4287 KachelY + 1 4278 0.14649517 -0.13914110 8.393555 -7.972198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13838148--0.13914110) × R
    0.000759619999999989 × 6371000     		dl = 4839.53901999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13838148--0.13914110) × R
    0.000759619999999989 × 6371000     		dr = 4839.53901999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14572817-0.14649517) × cos(-0.13838148) × R
    0.000767000000000018 × 0.990440552447854 × 6371000     		do = 4839.84421464804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14572817-0.14649517) × cos(-0.13914110) × R
    0.000767000000000018 × 0.990335484533361 × 6371000     		du = 4839.330794295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13838148)-sin(-0.13914110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990440552447854-0.990335484533361)×R²
    abs(0.14649517-0.14572817)×0.000105067914492385×R²
    0.000767000000000018×0.000105067914492385×6371000²
    0.000767000000000018×0.000105067914492385×40589641000000     		ar = 23421373.6948163m²