Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4285 / 4519
↖ ↑ ↗
← S 18.271086°
E  8.305664°		 ← 4 640.13 m → S 18.271086°
E  8.349609°		 →
↑
4 639.55 m
↓
↑
4 639.55 m
↓
S 18.312811°
E  8.305664°		 ← 4 639.02 m →
21 525 563 m²		 S 18.312811°
E  8.349609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52313232421875 y=0.55169677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52313232421875 × 213)
    floor (0.52313232421875 × 8192)
    floor (4285.5)     		tx = 4285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55169677734375 × 213)
    floor (0.55169677734375 × 8192)
    floor (4519.5)     		ty = 4519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4285 / 4519 ti = "13/4285/4519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4285/4519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4285 ÷ 213
    4285 ÷ 8192     		x = 0.5230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4519 ÷ 213
    4519 ÷ 8192     		y = 0.5516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5230712890625 × 2 - 1) × π
    0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5516357421875 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.32443693662854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14496118} λ = 0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.32443693662854))-π/2
    2×atan(0.722934296886452)-π/2
    2×0.625952858137813-π/2
    1.25190571627563-1.57079632675     		φ = -0.31889061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31889061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.271086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4285 KachelY 4519 0.14496118 -0.31889061 8.305664 -18.271086
    Oben rechts KachelX + 1 4286 KachelY 4519 0.14572817 -0.31889061 8.349609 -18.271086
    Unten links KachelX 4285 KachelY + 1 4520 0.14496118 -0.31961884 8.305664 -18.312811
    Unten rechts KachelX + 1 4286 KachelY + 1 4520 0.14572817 -0.31961884 8.349609 -18.312811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31889061--0.31961884) × R
    0.000728229999999996 × 6371000     		dl = 4639.55332999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31889061--0.31961884) × R
    0.000728229999999996 × 6371000     		dr = 4639.55332999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14496118-0.14572817) × cos(-0.31889061) × R
    0.000766989999999995 × 0.94958381087367 × 6371000     		do = 4640.13492012679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14496118-0.14572817) × cos(-0.31961884) × R
    0.000766989999999995 × 0.949355249315924 × 6371000     		du = 4639.01805560851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31889061)-sin(-0.31961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94958381087367-0.949355249315924)×R²
    abs(0.14572817-0.14496118)×0.00022856155774631×R²
    0.000766989999999995×0.00022856155774631×6371000²
    0.000766989999999995×0.00022856155774631×40589641000000     		ar = 21525563.4953605m²