Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4284 / 4275
↖ ↑ ↗
← S  7.841615°
E  8.261719°		 ← 4 840.80 m → S  7.841615°
E  8.305664°		 →
↑
4 840.56 m
↓
↑
4 840.56 m
↓
S  7.885147°
E  8.261719°		 ← 4 840.29 m →
23 430 945 m²		 S  7.885147°
E  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52301025390625 y=0.52191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52301025390625 × 213)
    floor (0.52301025390625 × 8192)
    floor (4284.5)     		tx = 4284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52191162109375 × 213)
    floor (0.52191162109375 × 8192)
    floor (4275.5)     		ty = 4275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4284 / 4275 ti = "13/4284/4275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4284/4275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4284 ÷ 213
    4284 ÷ 8192     		x = 0.52294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4275 ÷ 213
    4275 ÷ 8192     		y = 0.5218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52294921875 × 2 - 1) × π
    0.0458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14419419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.137291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14419419} λ = 0.14419419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.137291280511841))-π/2
    2×atan(0.871716275185608)-π/2
    2×0.716967161571289-π/2
    1.43393432314258-1.57079632675     		φ = -0.13686200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14419419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.261719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13686200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -7.841615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4284 KachelY 4275 0.14419419 -0.13686200 8.261719 -7.841615
    Oben rechts KachelX + 1 4285 KachelY 4275 0.14496118 -0.13686200 8.305664 -7.841615
    Unten links KachelX 4284 KachelY + 1 4276 0.14419419 -0.13762178 8.261719 -7.885147
    Unten rechts KachelX + 1 4285 KachelY + 1 4276 0.14496118 -0.13762178 8.305664 -7.885147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13686200--0.13762178) × R
    0.000759779999999988 × 6371000     		dl = 4840.55837999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13686200--0.13762178) × R
    0.000759779999999988 × 6371000     		dr = 4840.55837999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14419419-0.14496118) × cos(-0.13686200) × R
    0.000766989999999995 × 0.990649006441502 × 6371000     		do = 4840.79972272154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14419419-0.14496118) × cos(-0.13762178) × R
    0.000766989999999995 × 0.990545059830871 × 6371000     		du = 4840.29178830617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13686200)-sin(-0.13762178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990649006441502-0.990545059830871)×R²
    abs(0.14496118-0.14419419)×0.0001039466106314×R²
    0.000766989999999995×0.0001039466106314×6371000²
    0.000766989999999995×0.0001039466106314×40589641000000     		ar = 23430945.4477821m²