Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4283 / 4282
↖ ↑ ↗
← S  8.146243°
E  8.217773°		 ← 4 837.19 m → S  8.146243°
E  8.261719°		 →
↑
4 836.93 m
↓
↑
4 836.93 m
↓
S  8.189742°
E  8.217773°		 ← 4 836.66 m →
23 395 845 m²		 S  8.189742°
E  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52288818359375 y=0.52276611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52288818359375 × 213)
    floor (0.52288818359375 × 8192)
    floor (4283.5)     		tx = 4283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52276611328125 × 213)
    floor (0.52276611328125 × 8192)
    floor (4282.5)     		ty = 4282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4283 / 4282 ti = "13/4283/4282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4283/4282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4283 ÷ 213
    4283 ÷ 8192     		x = 0.5228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4282 ÷ 213
    4282 ÷ 8192     		y = 0.522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5228271484375 × 2 - 1) × π
    0.045654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14342720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.04541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.142660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14342720} λ = 0.14342720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.142660213269287))-π/2
    2×atan(0.867048630468114)-π/2
    2×0.714308783917559-π/2
    1.42861756783512-1.57079632675     		φ = -0.14217876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14342720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.217773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14217876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.146243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4283 KachelY 4282 0.14342720 -0.14217876 8.217773 -8.146243
    Oben rechts KachelX + 1 4284 KachelY 4282 0.14419419 -0.14217876 8.261719 -8.146243
    Unten links KachelX 4283 KachelY + 1 4283 0.14342720 -0.14293797 8.217773 -8.189742
    Unten rechts KachelX + 1 4284 KachelY + 1 4283 0.14419419 -0.14293797 8.261719 -8.189742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14217876--0.14293797) × R
    0.00075921000000001 × 6371000     		dl = 4836.92691000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14217876--0.14293797) × R
    0.00075921000000001 × 6371000     		dr = 4836.92691000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14342720-0.14419419) × cos(-0.14217876) × R
    0.000766989999999995 × 0.989909615222384 × 6371000     		do = 4837.18669249063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14342720-0.14419419) × cos(-0.14293797) × R
    0.000766989999999995 × 0.989801749713247 × 6371000     		du = 4836.65960840401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14217876)-sin(-0.14293797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989909615222384-0.989801749713247)×R²
    abs(0.14419419-0.14342720)×0.000107865509137328×R²
    0.000766989999999995×0.000107865509137328×6371000²
    0.000766989999999995×0.000107865509137328×40589641000000     		ar = 23395844.8717804m²