Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4282 / 4349
↖ ↑ ↗
← S 11.049038°
E  8.173828°		 ← 4 795.91 m → S 11.049038°
E  8.217773°		 →
↑
4 795.58 m
↓
↑
4 795.58 m
↓
S 11.092166°
E  8.173828°		 ← 4 795.21 m →
22 997 497 m²		 S 11.092166°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52276611328125 y=0.53094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52276611328125 × 213)
    floor (0.52276611328125 × 8192)
    floor (4282.5)     		tx = 4282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.53094482421875 × 213)
    floor (0.53094482421875 × 8192)
    floor (4349.5)     		ty = 4349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4282 / 4349 ti = "13/4282/4349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4282/4349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4282 ÷ 213
    4282 ÷ 8192     		x = 0.522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4349 ÷ 213
    4349 ÷ 8192     		y = 0.5308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14266021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.194048569661987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14266021} λ = 0.14266021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.194048569661987))-π/2
    2×atan(0.823617900454067)-π/2
    2×0.688977114237079-π/2
    1.37795422847416-1.57079632675     		φ = -0.19284210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14266021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19284210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.049038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4282 KachelY 4349 0.14266021 -0.19284210 8.173828 -11.049038
    Oben rechts KachelX + 1 4283 KachelY 4349 0.14342720 -0.19284210 8.217773 -11.049038
    Unten links KachelX 4282 KachelY + 1 4350 0.14266021 -0.19359482 8.173828 -11.092166
    Unten rechts KachelX + 1 4283 KachelY + 1 4350 0.14342720 -0.19359482 8.217773 -11.092166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19284210--0.19359482) × R
    0.000752720000000012 × 6371000     		dl = 4795.57912000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19284210--0.19359482) × R
    0.000752720000000012 × 6371000     		dr = 4795.57912000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14266021-0.14342720) × cos(-0.19284210) × R
    0.000766989999999995 × 0.98146351389162 × 6371000     		do = 4795.91487501119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14266021-0.14342720) × cos(-0.19359482) × R
    0.000766989999999995 × 0.981318977765296 × 6371000     		du = 4795.20860019975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19284210)-sin(-0.19359482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98146351389162-0.981318977765296)×R²
    abs(0.14342720-0.14266021)×0.000144536126323369×R²
    0.000766989999999995×0.000144536126323369×6371000²
    0.000766989999999995×0.000144536126323369×40589641000000     		ar = 22997496.8233732m²