Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4282 / 3531
↖ ↑ ↗
← N 80.277540°
W132.956543°		 ← 206.31 m → N 80.277540°
W132.945557°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 80.275684°
W132.956543°		 ← 206.34 m →
42 563 m²		 N 80.275684°
W132.945557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130691528320312 y=0.107772827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130691528320312 × 215)
    floor (0.130691528320312 × 32768)
    floor (4282.5)     		tx = 4282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107772827148438 × 215)
    floor (0.107772827148438 × 32768)
    floor (3531.5)     		ty = 3531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4282 / 3531 ti = "15/4282/3531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4282/3531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4282 ÷ 215
    4282 ÷ 32768     		x = 0.13067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3531 ÷ 215
    3531 ÷ 32768     		y = 0.107757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.7386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32052944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107757568359375 × 2 - 1) × π
    0.78448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46453188326633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32052944} λ = -2.32052944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46453188326633))-π/2
    2×atan(11.7579767578229)-π/2
    2×1.4859518556655-π/2
    2.971903711331-1.57079632675     		φ = 1.40110738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32052944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40110738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.277540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4282 KachelY 3531 -2.32052944 1.40110738 -132.956543 80.277540
    Oben rechts KachelX + 1 4283 KachelY 3531 -2.32033769 1.40110738 -132.945557 80.277540
    Unten links KachelX 4282 KachelY + 1 3532 -2.32052944 1.40107500 -132.956543 80.275684
    Unten rechts KachelX + 1 4283 KachelY + 1 3532 -2.32033769 1.40107500 -132.945557 80.275684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40110738-1.40107500) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40110738-1.40107500) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32052944--2.32033769) × cos(1.40110738) × R
    0.000191749999999935 × 0.168875771586749 × 6371000     		do = 206.305270944337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32052944--2.32033769) × cos(1.40107500) × R
    0.000191749999999935 × 0.16890768643541 × 6371000     		du = 206.344259376119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40110738)-sin(1.40107500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168875771586749-0.16890768643541)×R²
    abs(-2.32033769--2.32052944)×3.19148486610521e-05×R²
    0.000191749999999935×3.19148486610521e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.19148486610521e-05×40589641000000     		ar = 42563.3506562163m²