Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4282 / 1242
↖ ↑ ↗
← N 82.039656°
W 85.913086°		 ← 338.36 m → N 82.039656°
W 85.891113°		 →
↑
338.43 m
↓
↑
338.43 m
↓
N 82.036613°
W 85.913086°		 ← 338.49 m →
114 533 m²		 N 82.036613°
W 85.891113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261383056640625 y=0.075836181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261383056640625 × 214)
    floor (0.261383056640625 × 16384)
    floor (4282.5)     		tx = 4282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.075836181640625 × 214)
    floor (0.075836181640625 × 16384)
    floor (1242.5)     		ty = 1242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4282 / 1242 ti = "14/4282/1242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4282/1242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4282 ÷ 214
    4282 ÷ 16384     		x = 0.2613525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1242 ÷ 214
    1242 ÷ 16384     		y = 0.0758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2613525390625 × 2 - 1) × π
    -0.477294921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49946622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0758056640625 × 2 - 1) × π
    0.848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66529161887512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49946622} λ = -1.49946622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66529161887512))-π/2
    2×atan(14.372140122277)-π/2
    2×1.50132922486309-π/2
    3.00265844972618-1.57079632675     		φ = 1.43186212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49946622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.913086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43186212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.039656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4282 KachelY 1242 -1.49946622 1.43186212 -85.913086 82.039656
    Oben rechts KachelX + 1 4283 KachelY 1242 -1.49908272 1.43186212 -85.891113 82.039656
    Unten links KachelX 4282 KachelY + 1 1243 -1.49946622 1.43180900 -85.913086 82.036613
    Unten rechts KachelX + 1 4283 KachelY + 1 1243 -1.49908272 1.43180900 -85.891113 82.036613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43186212-1.43180900) × R
    5.31199999997956e-05 × 6371000     		dl = 338.427519998697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43186212-1.43180900) × R
    5.31199999997956e-05 × 6371000     		dr = 338.427519998697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49946622--1.49908272) × cos(1.43186212) × R
    0.00038349999999987 × 0.138487670109127 × 6371000     		do = 338.363946892609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49946622--1.49908272) × cos(1.43180900) × R
    0.00038349999999987 × 0.138540278057782 × 6371000     		du = 338.492482762485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43186212)-sin(1.43180900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138487670109127-0.138540278057782)×R²
    abs(-1.49908272--1.49946622)×5.26079486543041e-05×R²
    0.00038349999999987×5.26079486543041e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.26079486543041e-05×40589641000000     		ar = 114533.421468229m²