Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4281 / 3011
↖ ↑ ↗
← N 42.972502°
E  8.129883°		 ← 3 575.35 m → N 42.972502°
E  8.173828°		 →
↑
3 576.30 m
↓
↑
3 576.30 m
↓
N 42.940339°
E  8.129883°		 ← 3 577.22 m →
12 789 871 m²		 N 42.940339°
E  8.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52264404296875 y=0.36761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52264404296875 × 213)
    floor (0.52264404296875 × 8192)
    floor (4281.5)     		tx = 4281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36761474609375 × 213)
    floor (0.36761474609375 × 8192)
    floor (3011.5)     		ty = 3011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4281 / 3011 ti = "13/4281/3011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4281/3011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4281 ÷ 213
    4281 ÷ 8192     		x = 0.5225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3011 ÷ 213
    3011 ÷ 8192     		y = 0.3675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5225830078125 × 2 - 1) × π
    0.045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14189322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3675537109375 × 2 - 1) × π
    0.264892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.832184577404175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14189322} λ = 0.14189322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832184577404175))-π/2
    2×atan(2.29833414884424)-π/2
    2×1.16040398363607-π/2
    2.32080796727213-1.57079632675     		φ = 0.75001164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14189322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75001164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.972502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4281 KachelY 3011 0.14189322 0.75001164 8.129883 42.972502
    Oben rechts KachelX + 1 4282 KachelY 3011 0.14266021 0.75001164 8.173828 42.972502
    Unten links KachelX 4281 KachelY + 1 3012 0.14189322 0.74945030 8.129883 42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 4282 KachelY + 1 3012 0.14266021 0.74945030 8.173828 42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75001164-0.74945030) × R
    0.000561339999999966 × 6371000     		dl = 3576.29713999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75001164-0.74945030) × R
    0.000561339999999966 × 6371000     		dr = 3576.29713999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14189322-0.14266021) × cos(0.75001164) × R
    0.000766990000000023 × 0.731680934549086 × 6371000     		do = 3575.35397709515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14189322-0.14266021) × cos(0.74945030) × R
    0.000766990000000023 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 3577.22316136707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75001164)-sin(0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731680934549086-0.732063455134092)×R²
    abs(0.14266021-0.14189322)×0.000382520585006096×R²
    0.000766990000000023×0.000382520585006096×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382520585006096×40589641000000     		ar = 12789870.9177977m²