Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4280 / 3015
↖ ↑ ↗
← N 42.843751°
E  8.085937°		 ← 3 582.83 m → N 42.843751°
E  8.129883°		 →
↑
3 583.75 m
↓
↑
3 583.75 m
↓
N 42.811522°
E  8.085937°		 ← 3 584.70 m →
12 843 319 m²		 N 42.811522°
E  8.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52252197265625 y=0.36810302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52252197265625 × 213)
    floor (0.52252197265625 × 8192)
    floor (4280.5)     		tx = 4280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36810302734375 × 213)
    floor (0.36810302734375 × 8192)
    floor (3015.5)     		ty = 3015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4280 / 3015 ti = "13/4280/3015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4280/3015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4280 ÷ 213
    4280 ÷ 8192     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3015 ÷ 213
    3015 ÷ 8192     		y = 0.3680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3680419921875 × 2 - 1) × π
    0.263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.829116615828491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.829116615828491))-π/2
    2×atan(2.29129375334119)-π/2
    2×1.15928042566349-π/2
    2.31856085132697-1.57079632675     		φ = 0.74776452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74776452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.843751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4280 KachelY 3015 0.14112623 0.74776452 8.085937 42.843751
    Oben rechts KachelX + 1 4281 KachelY 3015 0.14189322 0.74776452 8.129883 42.843751
    Unten links KachelX 4280 KachelY + 1 3016 0.14112623 0.74720201 8.085937 42.811522
    Unten rechts KachelX + 1 4281 KachelY + 1 3016 0.14189322 0.74720201 8.129883 42.811522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74776452-0.74720201) × R
    0.000562510000000072 × 6371000     		dl = 3583.75121000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74776452-0.74720201) × R
    0.000562510000000072 × 6371000     		dr = 3583.75121000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14189322) × cos(0.74776452) × R
    0.000766989999999995 × 0.733210829160377 × 6371000     		do = 3582.8297968475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14189322) × cos(0.74720201) × R
    0.000766989999999995 × 0.733593220717427 × 6371000     		du = 3584.69835062517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74776452)-sin(0.74720201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733210829160377-0.733593220717427)×R²
    abs(0.14189322-0.14112623)×0.000382391557049666×R²
    0.000766989999999995×0.000382391557049666×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382391557049666×40589641000000     		ar = 12843319.1742625m²