Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4280 / 2616
↖ ↑ ↗
← N 76.557743°
W 85.957031°		 ← 567.96 m → N 76.557743°
W 85.935059°		 →
↑
568.04 m
↓
↑
568.04 m
↓
N 76.552634°
W 85.957031°		 ← 568.17 m →
322 685 m²		 N 76.552634°
W 85.935059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261260986328125 y=0.159698486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261260986328125 × 214)
    floor (0.261260986328125 × 16384)
    floor (4280.5)     		tx = 4280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159698486328125 × 214)
    floor (0.159698486328125 × 16384)
    floor (2616.5)     		ty = 2616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4280 / 2616 ti = "14/4280/2616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4280/2616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4280 ÷ 214
    4280 ÷ 16384     		x = 0.26123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2616 ÷ 214
    2616 ÷ 16384     		y = 0.15966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4775390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50023321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15966796875 × 2 - 1) × π
    0.6806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13836921825146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50023321} λ = -1.50023321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13836921825146))-π/2
    2×atan(8.4855881968979)-π/2
    2×1.45349050448054-π/2
    2.90698100896108-1.57079632675     		φ = 1.33618468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50023321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.957031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33618468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.557743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4280 KachelY 2616 -1.50023321 1.33618468 -85.957031 76.557743
    Oben rechts KachelX + 1 4281 KachelY 2616 -1.49984972 1.33618468 -85.935059 76.557743
    Unten links KachelX 4280 KachelY + 1 2617 -1.50023321 1.33609552 -85.957031 76.552634
    Unten rechts KachelX + 1 4281 KachelY + 1 2617 -1.49984972 1.33609552 -85.935059 76.552634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33618468-1.33609552) × R
    8.91599999999215e-05 × 6371000     		dl = 568.0383599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33618468-1.33609552) × R
    8.91599999999215e-05 × 6371000     		dr = 568.0383599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50023321--1.49984972) × cos(1.33618468) × R
    0.000383489999999931 × 0.232465288901964 × 6371000     		do = 567.962632006798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50023321--1.49984972) × cos(1.33609552) × R
    0.000383489999999931 × 0.232552005412312 × 6371000     		du = 568.174499067419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33618468)-sin(1.33609552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232465288901964-0.232552005412312)×R²
    abs(-1.49984972--1.50023321)×8.67165103488055e-05×R²
    0.000383489999999931×8.67165103488055e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.67165103488055e-05×40589641000000     		ar = 322684.736549086m²