Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4278 / 4341
↖ ↑ ↗
← S 10.703792°
E  7.998047°		 ← 4 801.47 m → S 10.703792°
E  8.041992°		 →
↑
4 801.12 m
↓
↑
4 801.12 m
↓
S 10.746969°
E  7.998047°		 ← 4 800.79 m →
23 050 802 m²		 S 10.746969°
E  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52227783203125 y=0.52996826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52227783203125 × 213)
    floor (0.52227783203125 × 8192)
    floor (4278.5)     		tx = 4278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52996826171875 × 213)
    floor (0.52996826171875 × 8192)
    floor (4341.5)     		ty = 4341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4278 / 4341 ti = "13/4278/4341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4278/4341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4278 ÷ 213
    4278 ÷ 8192     		x = 0.522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4341 ÷ 213
    4341 ÷ 8192     		y = 0.5299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.522216796875 × 2 - 1) × π
    0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.18791264651062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13959225} λ = 0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.18791264651062))-π/2
    2×atan(0.828687092780228)-π/2
    2×0.691989959491833-π/2
    1.38397991898367-1.57079632675     		φ = -0.18681641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18681641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.703792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4278 KachelY 4341 0.13959225 -0.18681641 7.998047 -10.703792
    Oben rechts KachelX + 1 4279 KachelY 4341 0.14035924 -0.18681641 8.041992 -10.703792
    Unten links KachelX 4278 KachelY + 1 4342 0.13959225 -0.18757000 7.998047 -10.746969
    Unten rechts KachelX + 1 4279 KachelY + 1 4342 0.14035924 -0.18757000 8.041992 -10.746969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18681641--0.18757000) × R
    0.000753589999999998 × 6371000     		dl = 4801.12188999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18681641--0.18757000) × R
    0.000753589999999998 × 6371000     		dr = 4801.12188999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13959225-0.14035924) × cos(-0.18681641) × R
    0.000766989999999995 × 0.982600506968399 × 6371000     		do = 4801.47078405165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13959225-0.14035924) × cos(-0.18757000) × R
    0.000766989999999995 × 0.982460262463433 × 6371000     		du = 4800.78548021917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18681641)-sin(-0.18757000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982600506968399-0.982460262463433)×R²
    abs(0.14035924-0.13959225)×0.00014024450496597×R²
    0.000766989999999995×0.00014024450496597×6371000²
    0.000766989999999995×0.00014024450496597×40589641000000     		ar = 23050802.4627648m²