Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4278 / 3956
↖ ↑ ↗
← N 79.456521°
W133.000488°		 ← 223.54 m → N 79.456521°
W132.989502°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
N 79.454511°
W133.000488°		 ← 223.58 m →
49 978 m²		 N 79.454511°
W132.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130569458007812 y=0.120742797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130569458007812 × 215)
    floor (0.130569458007812 × 32768)
    floor (4278.5)     		tx = 4278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120742797851562 × 215)
    floor (0.120742797851562 × 32768)
    floor (3956.5)     		ty = 3956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4278 / 3956 ti = "15/4278/3956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4278/3956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4278 ÷ 215
    4278 ÷ 32768     		x = 0.13055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3956 ÷ 215
    3956 ÷ 32768     		y = 0.1207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.7388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32129643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1207275390625 × 2 - 1) × π
    0.758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38303915391223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32129643} λ = -2.32129643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38303915391223))-π/2
    2×atan(10.8377905768383)-π/2
    2×1.47878712058132-π/2
    2.95757424116265-1.57079632675     		φ = 1.38677791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32129643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38677791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.456521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4278 KachelY 3956 -2.32129643 1.38677791 -133.000488 79.456521
    Oben rechts KachelX + 1 4279 KachelY 3956 -2.32110468 1.38677791 -132.989502 79.456521
    Unten links KachelX 4278 KachelY + 1 3957 -2.32129643 1.38674282 -133.000488 79.454511
    Unten rechts KachelX + 1 4279 KachelY + 1 3957 -2.32110468 1.38674282 -132.989502 79.454511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38677791-1.38674282) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dl = 223.558389999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38677791-1.38674282) × R
    3.50899999999044e-05 × 6371000     		dr = 223.558389999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32129643--2.32110468) × cos(1.38677791) × R
    0.000191749999999935 × 0.182981611350923 × 6371000     		do = 223.537518454457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32129643--2.32110468) × cos(1.38674282) × R
    0.000191749999999935 × 0.183016108790489 × 6371000     		du = 223.579661880656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38677791)-sin(1.38674282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182981611350923-0.183016108790489)×R²
    abs(-2.32110468--2.32129643)×3.44974395660724e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44974395660724e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44974395660724e-05×40589641000000     		ar = 49978.3984934539m²