Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4278 / 3207
↖ ↑ ↗
← N 80.860620°
W133.000488°		 ← 194.04 m → N 80.860620°
W132.989502°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
N 80.858875°
W133.000488°		 ← 194.08 m →
37 659 m²		 N 80.858875°
W132.989502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130569458007812 y=0.0978851318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130569458007812 × 215)
    floor (0.130569458007812 × 32768)
    floor (4278.5)     		tx = 4278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0978851318359375 × 215)
    floor (0.0978851318359375 × 32768)
    floor (3207.5)     		ty = 3207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4278 / 3207 ti = "15/4278/3207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4278/3207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4278 ÷ 215
    4278 ÷ 32768     		x = 0.13055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3207 ÷ 215
    3207 ÷ 32768     		y = 0.097869873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.7388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32129643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097869873046875 × 2 - 1) × π
    0.80426025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52665810517392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32129643} λ = -2.32129643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52665810517392))-π/2
    2×atan(12.5116236618534)-π/2
    2×1.4910401912049-π/2
    2.98208038240979-1.57079632675     		φ = 1.41128406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32129643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41128406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.860620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4278 KachelY 3207 -2.32129643 1.41128406 -133.000488 80.860620
    Oben rechts KachelX + 1 4279 KachelY 3207 -2.32110468 1.41128406 -132.989502 80.860620
    Unten links KachelX 4278 KachelY + 1 3208 -2.32129643 1.41125360 -133.000488 80.858875
    Unten rechts KachelX + 1 4279 KachelY + 1 3208 -2.32110468 1.41125360 -132.989502 80.858875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41128406-1.41125360) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dl = 194.060660000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41128406-1.41125360) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dr = 194.060660000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32129643--2.32110468) × cos(1.41128406) × R
    0.000191749999999935 × 0.15883668415665 × 6371000     		do = 194.041127705551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32129643--2.32110468) × cos(1.41125360) × R
    0.000191749999999935 × 0.158866757389322 × 6371000     		du = 194.077866346958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41128406)-sin(1.41125360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15883668415665-0.158866757389322)×R²
    abs(-2.32110468--2.32129643)×3.00732326725672e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00732326725672e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00732326725672e-05×40589641000000     		ar = 37659.3140745464m²