Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42778 / 48391
↖ ↑ ↗
← S 64.790508°
E 54.986572°		 ← 260.15 m → S 64.790508°
E 54.992065°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
S 64.792848°
E 54.986572°		 ← 260.13 m →
67 687 m²		 S 64.792848°
E 54.992065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652748107910156 y=0.738395690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652748107910156 × 216)
    floor (0.652748107910156 × 65536)
    floor (42778.5)     		tx = 42778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738395690917969 × 216)
    floor (0.738395690917969 × 65536)
    floor (48391.5)     		ty = 48391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42778 / 48391 ti = "16/42778/48391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42778/48391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42778 ÷ 216
    42778 ÷ 65536     		x = 0.652740478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48391 ÷ 216
    48391 ÷ 65536     		y = 0.738388061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652740478515625 × 2 - 1) × π
    0.30548095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95969673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738388061523438 × 2 - 1) × π
    -0.476776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49783636552827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95969673} λ = 0.95969673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49783636552827))-π/2
    2×atan(0.223613454902666)-π/2
    2×0.219994317531887-π/2
    0.439988635063774-1.57079632675     		φ = -1.13080769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95969673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13080769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.790508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42778 KachelY 48391 0.95969673 -1.13080769 54.986572 -64.790508
    Oben rechts KachelX + 1 42779 KachelY 48391 0.95979260 -1.13080769 54.992065 -64.790508
    Unten links KachelX 42778 KachelY + 1 48392 0.95969673 -1.13084853 54.986572 -64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 42779 KachelY + 1 48392 0.95979260 -1.13084853 54.992065 -64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13080769--1.13084853) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dl = 260.191640000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13080769--1.13084853) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dr = 260.191640000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95969673-0.95979260) × cos(-1.13080769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425929184159784 × 6371000     		do = 260.152336570868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95969673-0.95979260) × cos(-1.13084853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 260.129767589706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13080769)-sin(-1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425929184159784-0.425892233548999)×R²
    abs(0.95979260-0.95969673)×3.69506107852358e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69506107852358e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69506107852358e-05×40589641000000     		ar = 67686.526981834m²