Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42777 / 48389
↖ ↑ ↗
← S 64.785828°
E 54.981079°		 ← 260.20 m → S 64.785828°
E 54.986572°		 →
↑
260.19 m
↓
↑
260.19 m
↓
S 64.788168°
E 54.981079°		 ← 260.17 m →
67 698 m²		 S 64.788168°
E 54.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652732849121094 y=0.738365173339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652732849121094 × 216)
    floor (0.652732849121094 × 65536)
    floor (42777.5)     		tx = 42777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738365173339844 × 216)
    floor (0.738365173339844 × 65536)
    floor (48389.5)     		ty = 48389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42777 / 48389 ti = "16/42777/48389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42777/48389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42777 ÷ 216
    42777 ÷ 65536     		x = 0.652725219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48389 ÷ 216
    48389 ÷ 65536     		y = 0.738357543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652725219726562 × 2 - 1) × π
    0.305450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95960086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738357543945312 × 2 - 1) × π
    -0.476715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49764461792979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95960086} λ = 0.95960086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49764461792979))-π/2
    2×atan(0.223656336356708)-π/2
    2×0.220035156523156-π/2
    0.440070313046311-1.57079632675     		φ = -1.13072601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95960086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.981079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13072601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.785828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42777 KachelY 48389 0.95960086 -1.13072601 54.981079 -64.785828
    Oben rechts KachelX + 1 42778 KachelY 48389 0.95969673 -1.13072601 54.986572 -64.785828
    Unten links KachelX 42777 KachelY + 1 48390 0.95960086 -1.13076685 54.981079 -64.788168
    Unten rechts KachelX + 1 42778 KachelY + 1 48390 0.95969673 -1.13076685 54.986572 -64.788168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13072601--1.13076685) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dl = 260.191640000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13072601--1.13076685) × R
    4.0840000000042e-05 × 6371000     		dr = 260.191640000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95960086-0.95969673) × cos(-1.13072601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426003083250064 × 6371000     		do = 260.197473231425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95960086-0.95969673) × cos(-1.13076685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425966134060159 × 6371000     		du = 260.17490511812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13072601)-sin(-1.13076685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426003083250064-0.425966134060159)×R²
    abs(0.95969673-0.95960086)×3.69491899042673e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69491899042673e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69491899042673e-05×40589641000000     		ar = 67698.2712762172m²