Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42775 / 48393
↖ ↑ ↗
← S 64.795187°
E 54.970093°		 ← 260.11 m → S 64.795187°
E 54.975586°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
S 64.797526°
E 54.970093°		 ← 260.08 m →
67 642 m²		 S 64.797526°
E 54.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652702331542969 y=0.738426208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652702331542969 × 216)
    floor (0.652702331542969 × 65536)
    floor (42775.5)     		tx = 42775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738426208496094 × 216)
    floor (0.738426208496094 × 65536)
    floor (48393.5)     		ty = 48393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42775 / 48393 ti = "16/42775/48393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42775/48393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42775 ÷ 216
    42775 ÷ 65536     		x = 0.652694702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48393 ÷ 216
    48393 ÷ 65536     		y = 0.738418579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652694702148438 × 2 - 1) × π
    0.305389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95940911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738418579101562 × 2 - 1) × π
    -0.476837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49802811312675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95940911} λ = 0.95940911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49802811312675))-π/2
    2×atan(0.223570581670251)-π/2
    2×0.219953485624952-π/2
    0.439906971249904-1.57079632675     		φ = -1.13088936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95940911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.970093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13088936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.795187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42775 KachelY 48393 0.95940911 -1.13088936 54.970093 -64.795187
    Oben rechts KachelX + 1 42776 KachelY 48393 0.95950498 -1.13088936 54.975586 -64.795187
    Unten links KachelX 42775 KachelY + 1 48394 0.95940911 -1.13093018 54.970093 -64.797526
    Unten rechts KachelX + 1 42776 KachelY + 1 48394 0.95950498 -1.13093018 54.975586 -64.797526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13088936--1.13093018) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dl = 260.064219999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13088936--1.13093018) × R
    4.08199999999415e-05 × 6371000     		dr = 260.064219999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95940911-0.95950498) × cos(-1.13088936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425855291275778 × 6371000     		do = 260.107203701027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95940911-0.95950498) × cos(-1.13093018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425818357340706 × 6371000     		du = 260.084644905187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13088936)-sin(-1.13093018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425855291275778-0.425818357340706)×R²
    abs(0.95950498-0.95940911)×3.69339350722586e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69339350722586e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69339350722586e-05×40589641000000     		ar = 67641.6436882298m²