Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42767 / 48399
↖ ↑ ↗
← S 64.809219°
E 54.926148°		 ← 259.97 m → S 64.809219°
E 54.931640°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
S 64.811557°
E 54.926148°		 ← 259.95 m →
67 590 m²		 S 64.811557°
E 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652580261230469 y=0.738517761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652580261230469 × 216)
    floor (0.652580261230469 × 65536)
    floor (42767.5)     		tx = 42767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738517761230469 × 216)
    floor (0.738517761230469 × 65536)
    floor (48399.5)     		ty = 48399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42767 / 48399 ti = "16/42767/48399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42767/48399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42767 ÷ 216
    42767 ÷ 65536     		x = 0.652572631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48399 ÷ 216
    48399 ÷ 65536     		y = 0.738510131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652572631835938 × 2 - 1) × π
    0.305145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95864212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738510131835938 × 2 - 1) × π
    -0.477020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4986033559222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95864212} λ = 0.95864212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4986033559222))-π/2
    2×atan(0.223442011287012)-π/2
    2×0.219831032400579-π/2
    0.439662064801157-1.57079632675     		φ = -1.13113426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95864212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.926148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13113426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.809219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42767 KachelY 48399 0.95864212 -1.13113426 54.926148 -64.809219
    Oben rechts KachelX + 1 42768 KachelY 48399 0.95873799 -1.13113426 54.931640 -64.809219
    Unten links KachelX 42767 KachelY + 1 48400 0.95864212 -1.13117507 54.926148 -64.811557
    Unten rechts KachelX + 1 42768 KachelY + 1 48400 0.95873799 -1.13117507 54.931640 -64.811557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13113426--1.13117507) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13113426--1.13117507) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95864212-0.95873799) × cos(-1.13113426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425633695121546 × 6371000     		do = 259.971855480143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95864212-0.95873799) × cos(-1.13117507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425596765979697 × 6371000     		du = 259.949299611945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13113426)-sin(-1.13117507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425633695121546-0.425596765979697)×R²
    abs(0.95873799-0.95864212)×3.69291418486628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69291418486628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69291418486628e-05×40589641000000     		ar = 67589.8827510722m²