Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42764 / 48396
↖ ↑ ↗
← S 64.802204°
E 54.909668°		 ← 260.04 m → S 64.802204°
E 54.915161°		 →
↑
260.06 m
↓
↑
260.06 m
↓
S 64.804543°
E 54.909668°		 ← 260.02 m →
67 624 m²		 S 64.804543°
E 54.915161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652534484863281 y=0.738471984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652534484863281 × 216)
    floor (0.652534484863281 × 65536)
    floor (42764.5)     		tx = 42764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738471984863281 × 216)
    floor (0.738471984863281 × 65536)
    floor (48396.5)     		ty = 48396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42764 / 48396 ti = "16/42764/48396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42764/48396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42764 ÷ 216
    42764 ÷ 65536     		x = 0.65252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48396 ÷ 216
    48396 ÷ 65536     		y = 0.73846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65252685546875 × 2 - 1) × π
    0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.4769287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49831573452448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95835450} λ = 0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49831573452448))-π/2
    2×atan(0.223506287233733)-π/2
    2×0.219892251045581-π/2
    0.439784502091162-1.57079632675     		φ = -1.13101182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13101182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.802204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42764 KachelY 48396 0.95835450 -1.13101182 54.909668 -64.802204
    Oben rechts KachelX + 1 42765 KachelY 48396 0.95845037 -1.13101182 54.915161 -64.802204
    Unten links KachelX 42764 KachelY + 1 48397 0.95835450 -1.13105264 54.909668 -64.804543
    Unten rechts KachelX + 1 42765 KachelY + 1 48397 0.95845037 -1.13105264 54.915161 -64.804543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13101182--1.13105264) × R
    4.08200000001635e-05 × 6371000     		dl = 260.064220001042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13101182--1.13105264) × R
    4.08200000001635e-05 × 6371000     		dr = 260.064220001042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95835450-0.95845037) × cos(-1.13101182) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425744487342035 × 6371000     		do = 260.039526013429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95835450-0.95845037) × cos(-1.13105264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425707551278559 × 6371000     		du = 260.016965917586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13101182)-sin(-1.13105264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425744487342035-0.425707551278559)×R²
    abs(0.95845037-0.95835450)×3.69360634759341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69360634759341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69360634759341e-05×40589641000000     		ar = 67624.0429744994m²