Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42754 / 48384
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E 54.854736°		 ← 260.31 m → S 64.774125°
E 54.860229°		 →
↑
260.32 m
↓
↑
260.32 m
↓
S 64.776467°
E 54.854736°		 ← 260.29 m →
67 761 m²		 S 64.776467°
E 54.860229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652381896972656 y=0.738288879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652381896972656 × 216)
    floor (0.652381896972656 × 65536)
    floor (42754.5)     		tx = 42754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738288879394531 × 216)
    floor (0.738288879394531 × 65536)
    floor (48384.5)     		ty = 48384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42754 / 48384 ti = "16/42754/48384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42754/48384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42754 ÷ 216
    42754 ÷ 65536     		x = 0.652374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48384 ÷ 216
    48384 ÷ 65536     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652374267578125 × 2 - 1) × π
    0.30474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95739576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95739576} λ = 0.95739576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95739576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.854736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42754 KachelY 48384 0.95739576 -1.13052176 54.854736 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 42755 KachelY 48384 0.95749163 -1.13052176 54.860229 -64.774125
    Unten links KachelX 42754 KachelY + 1 48385 0.95739576 -1.13056262 54.854736 -64.776467
    Unten rechts KachelX + 1 42755 KachelY + 1 48385 0.95749163 -1.13056262 54.860229 -64.776467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.13056262) × R
    4.08600000001424e-05 × 6371000     		dl = 260.319060000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.13056262) × R
    4.08600000001424e-05 × 6371000     		dr = 260.319060000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95739576-0.95749163) × cos(-1.13052176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 260.310334914415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95739576-0.95749163) × cos(-1.13056262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426150900043298 × 6371000     		du = 260.287757920933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.13056262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.426150900043298)×R²
    abs(0.95749163-0.95739576)×3.69637287950253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69637287950253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69637287950253e-05×40589641000000     		ar = 67760.8030917921m²