Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42753 / 48386
↖ ↑ ↗
← S 64.778807°
E 54.849243°		 ← 260.27 m → S 64.778807°
E 54.854736°		 →
↑
260.26 m
↓
↑
260.26 m
↓
S 64.781148°
E 54.849243°		 ← 260.24 m →
67 732 m²		 S 64.781148°
E 54.854736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652366638183594 y=0.738319396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652366638183594 × 216)
    floor (0.652366638183594 × 65536)
    floor (42753.5)     		tx = 42753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738319396972656 × 216)
    floor (0.738319396972656 × 65536)
    floor (48386.5)     		ty = 48386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42753 / 48386 ti = "16/42753/48386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42753/48386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42753 ÷ 216
    42753 ÷ 65536     		x = 0.652359008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48386 ÷ 216
    48386 ÷ 65536     		y = 0.738311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652359008789062 × 2 - 1) × π
    0.304718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95729989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.47662353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49735699653207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95729989} λ = 0.95729989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49735699653207))-π/2
    2×atan(0.223720673956771)-π/2
    2×0.220096428295276-π/2
    0.440192856590552-1.57079632675     		φ = -1.13060347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95729989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13060347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.778807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42753 KachelY 48386 0.95729989 -1.13060347 54.849243 -64.778807
    Oben rechts KachelX + 1 42754 KachelY 48386 0.95739576 -1.13060347 54.854736 -64.778807
    Unten links KachelX 42753 KachelY + 1 48387 0.95729989 -1.13064432 54.849243 -64.781148
    Unten rechts KachelX + 1 42754 KachelY + 1 48387 0.95739576 -1.13064432 54.854736 -64.781148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13060347--1.13064432) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dl = 260.25534999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13060347--1.13064432) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dr = 260.25534999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95729989-0.95739576) × cos(-1.13060347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426113944649722 × 6371000     		do = 260.265186018502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95729989-0.95739576) × cos(-1.13064432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426076988545081 × 6371000     		du = 260.24261368176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13060347)-sin(-1.13064432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426113944649722-0.426076988545081)×R²
    abs(0.95739576-0.95729989)×3.69561046415501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69561046415501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69561046415501e-05×40589641000000     		ar = 67732.4698037822m²