Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42752 / 48383
↖ ↑ ↗
← S 64.771784°
E 54.843750°		 ← 260.36 m → S 64.771784°
E 54.849243°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
S 64.774125°
E 54.843750°		 ← 260.34 m →
67 790 m²		 S 64.774125°
E 54.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652351379394531 y=0.738273620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652351379394531 × 216)
    floor (0.652351379394531 × 65536)
    floor (42752.5)     		tx = 42752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738273620605469 × 216)
    floor (0.738273620605469 × 65536)
    floor (48383.5)     		ty = 48383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42752 / 48383 ti = "16/42752/48383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42752/48383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42752 ÷ 216
    42752 ÷ 65536     		x = 0.65234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48383 ÷ 216
    48383 ÷ 65536     		y = 0.738265991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65234375 × 2 - 1) × π
    0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738265991210938 × 2 - 1) × π
    -0.476531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49706937513435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95720401} λ = 0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49706937513435))-π/2
    2×atan(0.223785030064367)-π/2
    2×0.220157716012527-π/2
    0.440315432025054-1.57079632675     		φ = -1.13048089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13048089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.771784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42752 KachelY 48383 0.95720401 -1.13048089 54.843750 -64.771784
    Oben rechts KachelX + 1 42753 KachelY 48383 0.95729989 -1.13048089 54.849243 -64.771784
    Unten links KachelX 42752 KachelY + 1 48384 0.95720401 -1.13052176 54.843750 -64.774125
    Unten rechts KachelX + 1 42753 KachelY + 1 48384 0.95729989 -1.13052176 54.849243 -64.774125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13048089--1.13052176) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dl = 260.382769999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13048089--1.13052176) × R
    4.08699999998596e-05 × 6371000     		dr = 260.382769999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95720401-0.95729989) × cos(-1.13048089) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.426224835835523 × 6371000     		do = 260.360071783017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95720401-0.95729989) × cos(-1.13052176) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.426187863772093 × 6371000     		du = 260.337487343352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13048089)-sin(-1.13052176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426224835835523-0.426187863772093)×R²
    abs(0.95729989-0.95720401)×3.69720634298409e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.69720634298409e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.69720634298409e-05×40589641000000     		ar = 67790.3363978778m²