Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4274 / 4538
↖ ↑ ↗
← S 19.062118°
E  7.822266°		 ← 4 618.54 m → S 19.062118°
E  7.866211°		 →
↑
4 617.96 m
↓
↑
4 617.96 m
↓
S 19.103648°
E  7.822266°		 ← 4 617.38 m →
21 325 552 m²		 S 19.103648°
E  7.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52178955078125 y=0.55401611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52178955078125 × 213)
    floor (0.52178955078125 × 8192)
    floor (4274.5)     		tx = 4274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55401611328125 × 213)
    floor (0.55401611328125 × 8192)
    floor (4538.5)     		ty = 4538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4274 / 4538 ti = "13/4274/4538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4274/4538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4274 ÷ 213
    4274 ÷ 8192     		x = 0.521728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4538 ÷ 213
    4538 ÷ 8192     		y = 0.553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521728515625 × 2 - 1) × π
    0.04345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13652429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13652429} λ = 0.13652429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339009754113037))-π/2
    2×atan(0.71247549948874)-π/2
    2×0.619049803666716-π/2
    1.23809960733343-1.57079632675     		φ = -0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13652429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4274 KachelY 4538 0.13652429 -0.33269672 7.822266 -19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 4275 KachelY 4538 0.13729128 -0.33269672 7.866211 -19.062118
    Unten links KachelX 4274 KachelY + 1 4539 0.13652429 -0.33342156 7.822266 -19.103648
    Unten rechts KachelX + 1 4275 KachelY + 1 4539 0.13729128 -0.33342156 7.866211 -19.103648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33269672--0.33342156) × R
    0.000724840000000004 × 6371000     		dl = 4617.95564000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33269672--0.33342156) × R
    0.000724840000000004 × 6371000     		dr = 4617.95564000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13652429-0.13729128) × cos(-0.33269672) × R
    0.000766989999999995 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 4618.5426812314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13652429-0.13729128) × cos(-0.33342156) × R
    0.000766989999999995 × 0.944928075339579 × 6371000     		du = 4617.38469967944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33269672)-sin(-0.33342156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.944928075339579)×R²
    abs(0.13729128-0.13652429)×0.000236975983232468×R²
    0.000766989999999995×0.000236975983232468×6371000²
    0.000766989999999995×0.000236975983232468×40589641000000     		ar = 21325552.4033441m²