Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4274 / 3538
↖ ↑ ↗
← N 80.264544°
W133.044434°		 ← 206.58 m → N 80.264544°
W133.033447°		 →
↑
206.55 m
↓
↑
206.55 m
↓
N 80.262686°
W133.044434°		 ← 206.62 m →
42 672 m²		 N 80.262686°
W133.033447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130447387695312 y=0.107986450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130447387695312 × 215)
    floor (0.130447387695312 × 32768)
    floor (4274.5)     		tx = 4274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107986450195312 × 215)
    floor (0.107986450195312 × 32768)
    floor (3538.5)     		ty = 3538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4274 / 3538 ti = "15/4274/3538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4274/3538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4274 ÷ 215
    4274 ÷ 32768     		x = 0.13043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3538 ÷ 215
    3538 ÷ 32768     		y = 0.10797119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.7391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32206342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10797119140625 × 2 - 1) × π
    0.7840576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46318965007697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32206342} λ = -2.32206342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46318965007697))-π/2
    2×atan(11.7422053979679)-π/2
    2×1.48583844533487-π/2
    2.97167689066975-1.57079632675     		φ = 1.40088056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32206342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40088056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.264544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4274 KachelY 3538 -2.32206342 1.40088056 -133.044434 80.264544
    Oben rechts KachelX + 1 4275 KachelY 3538 -2.32187167 1.40088056 -133.033447 80.264544
    Unten links KachelX 4274 KachelY + 1 3539 -2.32206342 1.40084814 -133.044434 80.262686
    Unten rechts KachelX + 1 4275 KachelY + 1 3539 -2.32187167 1.40084814 -133.033447 80.262686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40088056-1.40084814) × R
    3.2420000000144e-05 × 6371000     		dl = 206.547820000917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40088056-1.40084814) × R
    3.2420000000144e-05 × 6371000     		dr = 206.547820000917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32206342--2.32187167) × cos(1.40088056) × R
    0.000191749999999935 × 0.169099329503082 × 6371000     		do = 206.578378069578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32206342--2.32187167) × cos(1.40084814) × R
    0.000191749999999935 × 0.16913128253425 × 6371000     		du = 206.617413146609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40088056)-sin(1.40084814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169099329503082-0.16913128253425)×R²
    abs(-2.32187167--2.32206342)×3.19530311679583e-05×R²
    0.000191749999999935×3.19530311679583e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.19530311679583e-05×40589641000000     		ar = 42672.3449576595m²