Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4274 / 12414
↖ ↑ ↗
← N 39.926589°
W133.044434°		 ← 936.84 m → N 39.926589°
W133.033447°		 →
↑
936.92 m
↓
↑
936.92 m
↓
N 39.918163°
W133.044434°		 ← 936.95 m →
877 793 m²		 N 39.918163°
W133.033447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130447387695312 y=0.378860473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130447387695312 × 215)
    floor (0.130447387695312 × 32768)
    floor (4274.5)     		tx = 4274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378860473632812 × 215)
    floor (0.378860473632812 × 32768)
    floor (12414.5)     		ty = 12414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4274 / 12414 ti = "15/4274/12414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4274/12414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4274 ÷ 215
    4274 ÷ 32768     		x = 0.13043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12414 ÷ 215
    12414 ÷ 32768     		y = 0.37884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.7391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32206342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37884521484375 × 2 - 1) × π
    0.2423095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.761237965966492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32206342} λ = -2.32206342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761237965966492))-π/2
    2×atan(2.14092497287912)-π/2
    2×1.13382337691459-π/2
    2.26764675382918-1.57079632675     		φ = 0.69685043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32206342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69685043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.926589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4274 KachelY 12414 -2.32206342 0.69685043 -133.044434 39.926589
    Oben rechts KachelX + 1 4275 KachelY 12414 -2.32187167 0.69685043 -133.033447 39.926589
    Unten links KachelX 4274 KachelY + 1 12415 -2.32206342 0.69670337 -133.044434 39.918163
    Unten rechts KachelX + 1 4275 KachelY + 1 12415 -2.32187167 0.69670337 -133.033447 39.918163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69685043-0.69670337) × R
    0.000147059999999977 × 6371000     		dl = 936.919259999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69685043-0.69670337) × R
    0.000147059999999977 × 6371000     		dr = 936.919259999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32206342--2.32187167) × cos(0.69685043) × R
    0.000191749999999935 × 0.766867399096869 × 6371000     		do = 936.835314281832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32206342--2.32187167) × cos(0.69670337) × R
    0.000191749999999935 × 0.766961774731557 × 6371000     		du = 936.950607261411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69685043)-sin(0.69670337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766867399096869-0.766961774731557)×R²
    abs(-2.32187167--2.32206342)×9.43756346886149e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43756346886149e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43756346886149e-05×40589641000000     		ar = 877793.061086488m²