Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4272 / 4298
↖ ↑ ↗
← S  8.841651°
E  7.734375°		 ← 4 828.43 m → S  8.841651°
E  7.778320°		 →
↑
4 828.13 m
↓
↑
4 828.13 m
↓
S  8.885071°
E  7.734375°		 ← 4 827.86 m →
23 310 919 m²		 S  8.885071°
E  7.778320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52154541015625 y=0.52471923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52154541015625 × 213)
    floor (0.52154541015625 × 8192)
    floor (4272.5)     		tx = 4272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52471923828125 × 213)
    floor (0.52471923828125 × 8192)
    floor (4298.5)     		ty = 4298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4272 / 4298 ti = "13/4272/4298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4272/4298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4272 ÷ 213
    4272 ÷ 8192     		x = 0.521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4298 ÷ 213
    4298 ÷ 8192     		y = 0.524658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521484375 × 2 - 1) × π
    0.04296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13499031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524658203125 × 2 - 1) × π
    -0.04931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.154932059572021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13499031} λ = 0.13499031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.154932059572021))-π/2
    2×atan(0.856473364673908)-π/2
    2×0.708240201714253-π/2
    1.41648040342851-1.57079632675     		φ = -0.15431592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13499031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15431592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.841651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4272 KachelY 4298 0.13499031 -0.15431592 7.734375 -8.841651
    Oben rechts KachelX + 1 4273 KachelY 4298 0.13575730 -0.15431592 7.778320 -8.841651
    Unten links KachelX 4272 KachelY + 1 4299 0.13499031 -0.15507375 7.734375 -8.885071
    Unten rechts KachelX + 1 4273 KachelY + 1 4299 0.13575730 -0.15507375 7.778320 -8.885071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15431592--0.15507375) × R
    0.000757830000000015 × 6371000     		dl = 4828.13493000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15431592--0.15507375) × R
    0.000757830000000015 × 6371000     		dr = 4828.13493000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13499031-0.13575730) × cos(-0.15431592) × R
    0.000766989999999995 × 0.988116907926707 × 6371000     		do = 4828.42664031937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13499031-0.13575730) × cos(-0.15507375) × R
    0.000766989999999995 × 0.988000142554999 × 6371000     		du = 4827.85606711402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15431592)-sin(-0.15507375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988116907926707-0.988000142554999)×R²
    abs(0.13575730-0.13499031)×0.00011676537170735×R²
    0.000766989999999995×0.00011676537170735×6371000²
    0.000766989999999995×0.00011676537170735×40589641000000     		ar = 23310919.0324916m²