Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4272 / 3940
↖ ↑ ↗
← N 79.488638°
W133.066406°		 ← 222.85 m → N 79.488638°
W133.055420°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
N 79.486634°
W133.066406°		 ← 222.89 m →
49 669 m²		 N 79.486634°
W133.055420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130386352539062 y=0.120254516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130386352539062 × 215)
    floor (0.130386352539062 × 32768)
    floor (4272.5)     		tx = 4272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120254516601562 × 215)
    floor (0.120254516601562 × 32768)
    floor (3940.5)     		ty = 3940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4272 / 3940 ti = "15/4272/3940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4272/3940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4272 ÷ 215
    4272 ÷ 32768     		x = 0.13037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3940 ÷ 215
    3940 ÷ 32768     		y = 0.1202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32244691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1202392578125 × 2 - 1) × π
    0.759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38610711548792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32244691} λ = -2.32244691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38610711548792))-π/2
    2×atan(10.8710915588398)-π/2
    2×1.47906738795783-π/2
    2.95813477591566-1.57079632675     		φ = 1.38733845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32244691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38733845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.488638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4272 KachelY 3940 -2.32244691 1.38733845 -133.066406 79.488638
    Oben rechts KachelX + 1 4273 KachelY 3940 -2.32225517 1.38733845 -133.055420 79.488638
    Unten links KachelX 4272 KachelY + 1 3941 -2.32244691 1.38730347 -133.066406 79.486634
    Unten rechts KachelX + 1 4273 KachelY + 1 3941 -2.32225517 1.38730347 -133.055420 79.486634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38733845-1.38730347) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dl = 222.857579999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38733845-1.38730347) × R
    3.49799999999068e-05 × 6371000     		dr = 222.857579999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32244691--2.32225517) × cos(1.38733845) × R
    0.000191739999999996 × 0.182430506601982 × 6371000     		do = 222.852644614784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32244691--2.32225517) × cos(1.38730347) × R
    0.000191739999999996 × 0.182464899482237 × 6371000     		du = 222.894658116054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38733845)-sin(1.38730347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182430506601982-0.182464899482237)×R²
    abs(-2.32225517--2.32244691)×3.43928802552518e-05×R²
    0.000191739999999996×3.43928802552518e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.43928802552518e-05×40589641000000     		ar = 49669.0825941107m²