Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4272 / 3791
↖ ↑ ↗
← N 79.783113°
W133.066406°		 ← 216.68 m → N 79.783113°
W133.055420°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
N 79.781164°
W133.066406°		 ← 216.72 m →
46 953 m²		 N 79.781164°
W133.055420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130386352539062 y=0.115707397460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130386352539062 × 215)
    floor (0.130386352539062 × 32768)
    floor (4272.5)     		tx = 4272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115707397460938 × 215)
    floor (0.115707397460938 × 32768)
    floor (3791.5)     		ty = 3791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4272 / 3791 ti = "15/4272/3791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4272/3791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4272 ÷ 215
    4272 ÷ 32768     		x = 0.13037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3791 ÷ 215
    3791 ÷ 32768     		y = 0.115692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13037109375 × 2 - 1) × π
    -0.7392578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32244691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115692138671875 × 2 - 1) × π
    0.76861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41467750766147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32244691} λ = -2.32244691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41467750766147))-π/2
    2×atan(11.1861623241553)-π/2
    2×1.48163716920048-π/2
    2.96327433840096-1.57079632675     		φ = 1.39247801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32244691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39247801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.783113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4272 KachelY 3791 -2.32244691 1.39247801 -133.066406 79.783113
    Oben rechts KachelX + 1 4273 KachelY 3791 -2.32225517 1.39247801 -133.055420 79.783113
    Unten links KachelX 4272 KachelY + 1 3792 -2.32244691 1.39244400 -133.066406 79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 4273 KachelY + 1 3792 -2.32225517 1.39244400 -133.055420 79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39247801-1.39244400) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39247801-1.39244400) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32244691--2.32225517) × cos(1.39247801) × R
    0.000191739999999996 × 0.177374807638074 × 6371000     		do = 216.676726422871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32244691--2.32225517) × cos(1.39244400) × R
    0.000191739999999996 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 216.717613305643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39247801)-sin(1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177374807638074-0.177408278251583)×R²
    abs(-2.32225517--2.32244691)×3.34706135089735e-05×R²
    0.000191739999999996×3.34706135089735e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.34706135089735e-05×40589641000000     		ar = 46953.4465342697m²