Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4272 / 2679
↖ ↑ ↗
← N 76.232138°
W 86.132812°		 ← 581.46 m → N 76.232138°
W 86.110840°		 →
↑
581.61 m
↓
↑
581.61 m
↓
N 76.226907°
W 86.132812°		 ← 581.67 m →
338 244 m²		 N 76.226907°
W 86.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260772705078125 y=0.163543701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260772705078125 × 214)
    floor (0.260772705078125 × 16384)
    floor (4272.5)     		tx = 4272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163543701171875 × 214)
    floor (0.163543701171875 × 16384)
    floor (2679.5)     		ty = 2679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4272 / 2679 ti = "14/4272/2679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4272/2679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4272 ÷ 214
    4272 ÷ 16384     		x = 0.2607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2679 ÷ 214
    2679 ÷ 16384     		y = 0.16351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2607421875 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.50330117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16351318359375 × 2 - 1) × π
    0.6729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11420902084296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50330117} λ = -1.50330117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11420902084296))-π/2
    2×atan(8.28303146905561)-π/2
    2×1.45064906207971-π/2
    2.90129812415942-1.57079632675     		φ = 1.33050180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50330117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.132812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33050180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.232138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4272 KachelY 2679 -1.50330117 1.33050180 -86.132812 76.232138
    Oben rechts KachelX + 1 4273 KachelY 2679 -1.50291768 1.33050180 -86.110840 76.232138
    Unten links KachelX 4272 KachelY + 1 2680 -1.50330117 1.33041051 -86.132812 76.226907
    Unten rechts KachelX + 1 4273 KachelY + 1 2680 -1.50291768 1.33041051 -86.110840 76.226907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33050180-1.33041051) × R
    9.12899999998551e-05 × 6371000     		dl = 581.608589999077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33050180-1.33041051) × R
    9.12899999998551e-05 × 6371000     		dr = 581.608589999077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50330117--1.50291768) × cos(1.33050180) × R
    0.000383490000000153 × 0.237988701173613 × 6371000     		do = 581.457514560494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50330117--1.50291768) × cos(1.33041051) × R
    0.000383490000000153 × 0.238077367230491 × 6371000     		du = 581.67414478203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33050180)-sin(1.33041051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237988701173613-0.238077367230491)×R²
    abs(-1.50291768--1.50330117)×8.86660568782671e-05×R²
    0.000383490000000153×8.86660568782671e-05×6371000²
    0.000383490000000153×8.86660568782671e-05×40589641000000     		ar = 338243.682421916m²