Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42718 / 48678
↖ ↑ ↗
← S 65.453698°
E 54.656982°		 ← 253.77 m → S 65.453698°
E 54.662476°		 →
↑
253.69 m
↓
↑
253.69 m
↓
S 65.455979°
E 54.656982°		 ← 253.74 m →
64 376 m²		 S 65.455979°
E 54.662476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651832580566406 y=0.742774963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651832580566406 × 216)
    floor (0.651832580566406 × 65536)
    floor (42718.5)     		tx = 42718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742774963378906 × 216)
    floor (0.742774963378906 × 65536)
    floor (48678.5)     		ty = 48678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42718 / 48678 ti = "16/42718/48678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42718/48678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42718 ÷ 216
    42718 ÷ 65536     		x = 0.651824951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48678 ÷ 216
    48678 ÷ 65536     		y = 0.742767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651824951171875 × 2 - 1) × π
    0.30364990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95394430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.48553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52535214591019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95394430} λ = 0.95394430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52535214591019))-π/2
    2×atan(0.217544435991743)-π/2
    2×0.214206900286128-π/2
    0.428413800572256-1.57079632675     		φ = -1.14238253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95394430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.656982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14238253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.453698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42718 KachelY 48678 0.95394430 -1.14238253 54.656982 -65.453698
    Oben rechts KachelX + 1 42719 KachelY 48678 0.95404018 -1.14238253 54.662476 -65.453698
    Unten links KachelX 42718 KachelY + 1 48679 0.95394430 -1.14242235 54.656982 -65.455979
    Unten rechts KachelX + 1 42719 KachelY + 1 48679 0.95404018 -1.14242235 54.662476 -65.455979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14238253--1.14242235) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dl = 253.693220000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14238253--1.14242235) × R
    3.98200000000237e-05 × 6371000     		dr = 253.693220000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95394430-0.95404018) × cos(-1.14238253) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.41542847421653 × 6371000     		do = 253.765098309437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95394430-0.95404018) × cos(-1.14242235) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.415392252585926 × 6371000     		du = 253.742972272774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14238253)-sin(-1.14242235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41542847421653-0.415392252585926)×R²
    abs(0.95404018-0.95394430)×3.6221630604405e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.6221630604405e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.6221630604405e-05×40589641000000     		ar = 64375.6783093098m²