Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42716 / 48676
↖ ↑ ↗
← S 65.449133°
E 54.645996°		 ← 253.81 m → S 65.449133°
E 54.651489°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
S 65.451415°
E 54.645996°		 ← 253.79 m →
64 419 m²		 S 65.451415°
E 54.651489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651802062988281 y=0.742744445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651802062988281 × 216)
    floor (0.651802062988281 × 65536)
    floor (42716.5)     		tx = 42716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742744445800781 × 216)
    floor (0.742744445800781 × 65536)
    floor (48676.5)     		ty = 48676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42716 / 48676 ti = "16/42716/48676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42716/48676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42716 ÷ 216
    42716 ÷ 65536     		x = 0.65179443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48676 ÷ 216
    48676 ÷ 65536     		y = 0.74273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65179443359375 × 2 - 1) × π
    0.3035888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95375255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95375255} λ = 0.95375255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52516039831171))-π/2
    2×atan(0.217586153614406)-π/2
    2×0.214246732466186-π/2
    0.428493464932372-1.57079632675     		φ = -1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95375255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42716 KachelY 48676 0.95375255 -1.14230286 54.645996 -65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 42717 KachelY 48676 0.95384843 -1.14230286 54.651489 -65.449133
    Unten links KachelX 42716 KachelY + 1 48677 0.95375255 -1.14234270 54.645996 -65.451415
    Unten rechts KachelX + 1 42717 KachelY + 1 48677 0.95384843 -1.14234270 54.651489 -65.451415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14230286--1.14234270) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dl = 253.820639999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14230286--1.14234270) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dr = 253.820639999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95375255-0.95384843) × cos(-1.14230286) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 253.809365844081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95375255-0.95384843) × cos(-1.14234270) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.415464704284511 × 6371000     		du = 253.787229499789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14230286)-sin(-1.14234270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.415464704284511)×R²
    abs(0.95384843-0.95375255)×3.62385048027769e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.62385048027769e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.62385048027769e-05×40589641000000     		ar = 64419.2463541192m²