Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42706 / 48753
↖ ↑ ↗
← S 65.624290°
E 54.591065°		 ← 252.08 m → S 65.624290°
E 54.596558°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
S 65.626557°
E 54.591065°		 ← 252.06 m →
63 531 m²		 S 65.626557°
E 54.596558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651649475097656 y=0.743919372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651649475097656 × 216)
    floor (0.651649475097656 × 65536)
    floor (42706.5)     		tx = 42706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743919372558594 × 216)
    floor (0.743919372558594 × 65536)
    floor (48753.5)     		ty = 48753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42706 / 48753 ti = "16/42706/48753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42706/48753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42706 ÷ 216
    42706 ÷ 65536     		x = 0.651641845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48753 ÷ 216
    48753 ÷ 65536     		y = 0.743911743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651641845703125 × 2 - 1) × π
    0.30328369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95279382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743911743164062 × 2 - 1) × π
    -0.487823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5325426808532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95279382} λ = 0.95279382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5325426808532))-π/2
    2×atan(0.215985785603798)-π/2
    2×0.212718199880056-π/2
    0.425436399760112-1.57079632675     		φ = -1.14535993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95279382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.591065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14535993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.624290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42706 KachelY 48753 0.95279382 -1.14535993 54.591065 -65.624290
    Oben rechts KachelX + 1 42707 KachelY 48753 0.95288969 -1.14535993 54.596558 -65.624290
    Unten links KachelX 42706 KachelY + 1 48754 0.95279382 -1.14539949 54.591065 -65.626557
    Unten rechts KachelX + 1 42707 KachelY + 1 48754 0.95288969 -1.14539949 54.596558 -65.626557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14535993--1.14539949) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14535993--1.14539949) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95279382-0.95288969) × cos(-1.14535993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412718316852263 × 6371000     		do = 252.083300388342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95279382-0.95288969) × cos(-1.14539949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412682282958725 × 6371000     		du = 252.061291326863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14535993)-sin(-1.14539949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412718316852263-0.412682282958725)×R²
    abs(0.95288969-0.95279382)×3.60338935384008e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60338935384008e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60338935384008e-05×40589641000000     		ar = 63531.4847420235m²