Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 427 / 97
↖ ↑ ↗
← N 81.038617°
W 29.882813°		 ← 6 089.31 m → N 81.038617°
W 29.531250°		 →
↑
6 107.81 m
↓
↑
6 107.81 m
↓
N 80.983688°
W 29.882813°		 ← 6 126.33 m →
37 305 439 m²		 N 80.983688°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41748046875 y=0.09521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41748046875 × 210)
    floor (0.41748046875 × 1024)
    floor (427.5)     		tx = 427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09521484375 × 210)
    floor (0.09521484375 × 1024)
    floor (97.5)     		ty = 97
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 427 / 97 ti = "10/427/97"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/427/97.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 427 ÷ 210
    427 ÷ 1024     		x = 0.4169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97 ÷ 210
    97 ÷ 1024     		y = 0.0947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947265625 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52155347} λ = -0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54640810781738))-π/2
    2×atan(12.7611845645141)-π/2
    2×1.49259350768986-π/2
    2.98518701537972-1.57079632675     		φ = 1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 427 KachelY 97 -0.52155347 1.41439069 -29.882813 81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 428 KachelY 97 -0.51541754 1.41439069 -29.531250 81.038617
    Unten links KachelX 427 KachelY + 1 98 -0.52155347 1.41343200 -29.882813 80.983688
    Unten rechts KachelX + 1 428 KachelY + 1 98 -0.51541754 1.41343200 -29.531250 80.983688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41439069-1.41343200) × R
    0.00095869000000004 × 6371000     		dl = 6107.81399000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41439069-1.41343200) × R
    0.00095869000000004 × 6371000     		dr = 6107.81399000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.41439069) × R
    0.00613593000000001 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 6089.31282127447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52155347--0.51541754) × cos(1.41343200) × R
    0.00613593000000001 × 0.156715647755291 × 6371000     		du = 6126.32967390781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41439069)-sin(1.41343200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.156715647755291)×R²
    abs(-0.51541754--0.52155347)×0.000946916073257392×R²
    0.00613593000000001×0.000946916073257392×6371000²
    0.00613593000000001×0.000946916073257392×40589641000000     		ar = 37305438.9217191m²